Қандай да болмасын білімге талпыну, таным кеңейту, соның ішінде математикалық білімді игеріп, іскерлік пен дағдыны қалыптастыру – маңызды да қиын мәселе. Танымдық іс-әрекеттер арнайы құрылған проблемалық ахуалдар кезінде пайда болады да, оны оқушылар бұрын немесе жаңадан игерген нақты жұмыстарда және басқа пәндерді оқып-үйренуге үнемі өз қажетіне жарата алады.
Жалпы алғанда математиканы оқып-үйрену ұғымды қалыптастыру мен оны терең танымдық дәрежеге жеткізуден, математикалық тұжырымдарды теоремаларды дәлелдей білуге үйретуден және оны нақтылы іс-әрекетте, есеп шығаруға қолдана білуден тұрады. Мұның алғашқысы да, маңыздысы да математикалық ұғымдарды игеру болғандықтан, оның алатын орны да ерекше. Оқушының бар білім-танымының бастауы, оның қолданылар аясының кеңдігі мен ауқымдылығы алғашқы мәліметтердің қалай түсіндіріліп, жеткізілетініне байланысты.
Мектеп оқушыларының бойында ғылыми ұғымдар жүйесін қалыптастыру – оларды жалпы ғылыми білімдер жүйесімен қаруландырудың маңызды элементтерінің бірі. Әрбір оқу пәні бір-бірімен өзара байланыстағы ұғымдар жүйесін және пән байланыстағы ғылыми ұғымдар жүйесін қамтиды.
Оқушылардың жалпы пән бойынша білімдердің сапасы олардың ұғымдар жүйесін мекгңруіне байланысты. Заттардың қасиеттері мен сипаттарын, материя қозғалысының формалары мен олардың алуан түрлі көріністерін оқып-үйрену, математика және жаратылыстану пәндері мектептік курсының мазмұны болып табылады.
Ұғымдарды меңгермейінше заңдар мен теорияларды саналы түрде білу мүмкін емес, өткені олардың өзі ұғымдар арасындағы байланыстарды білдіреді. Ал ұғымды меңгеру дегеніміз – болмыстың, заттар мен құбылыстардың маңызды қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстарды, ара-қатынастарды білу.
Мысалға теріс сандарды оқытуды қарастыратын болсақ. Біз ОХ координаттық түзуінен бастау алайық. Оң нақты сандарды бейнелейтін барлық нүктелер О нүктесінің оң жағында орналасады. Мысалы, А нүктесі 4 нақты санына, В нүктесі -5,5 санына, ал 2 санына сәйкес келеді.
О нүктесінен берілген бағыттан қарама — қарсы бағытта 4 есе болатын бірлік кесінді
А 1 Б 1 В 1 А Б В
өлшеп салайық. Сонда санақ басына қарағанда А нүктесіне симметриялы А 1 нүктесін аламыз.
А 1 нүктесінің координатасын – 4 деп белгілейік, яғни А 1 (-4). Осыған ұқсас В нүктесіне симметриялы В 1 нүктесінің координатасы -5,5 саны, ал С нүктесіне симметриялы С1 нүктесінің координатасы 2 саны болып табылады. 4 және -4; — 5,5; 2 және -2 сандарын қарама-қарсы таңбалы деп атайды.
Координаталық түзуде берілген бағытта орналасқан сандарды оң деп, ал оған қарама-қарсы бағытта орналасқан сандарды теріс сандар деп атайды. Саны оң сан да, теріс сан да болып есептелмейді.
Теріс нақты сандар жиыны мен оң нақты сандар жиынының және 0 санының бірігуін нақты сандар жиыны деп атап, R әрпімен белгілейді.
R нақты сандар жиыны мен координатық түзудің нүктелер жиыны өзара бірмәнді сәйкестікте болады: Әрбір нақты санға координаттық түзудің бір ғана нүктесі және координаттық түзудің әрбір нүктесіне бір ғана нақты сан сәйкес келеді.
Координатасы х саны болып табылатын санақ басынан нүктеге дейінгі қашықтан санның модулі деп аталады және ІХІ түрінде белгіленеді.
Егер х < 0, онда –х
Сонымен, ІХІ =егер х ≥ 0, онда х
Мысалы /-7/ = 7; /5,5/ =5,5; /0/ = 0
«Кем» және «артық » қатынастарын анықтай отырып, нақты сандарды, былайша салыстырады:
Егер координаттық түзудің бойында а нүктесі в нүктесіне қарағанда солға қарай орналасса, онда а < в болады, ал а нүктесіне қарағанда оңға қарай орналасса, онда а > в болады.
Бұл анықтамадан кез келген оң сан 0-ден артық, ал кез келген теріс сан 0-ден кем болатыны шығады.
«Кем» және «артық» қатынастарының анықтамасынан тағы да мынадай тұжырым жасауға болады:
- а < в сонда және тек қана сонда, егер а-в айырымы теріс сан болса;
- а > в сонда және тек қана сонда, егер а-в айырымы оң сан болса.
Кез келген а және в нақты сандары үшін, мына қатыстардың біреуі және тек қана біреуі орындалады: . а < в, а > в, а = в. Нақты сандар үшін амалдар келесі ережелер бойынша орындалады.
Екі нақты санның қосындысы деп келесі шарттарды қанағаттандыратын санды айтамыз:
1) Екі оң санның қосындысы қашан да оң сан болады жәнеол оң нақты сандар жиынында анықталғакн ережелер бойынша табылады.
2) Екі теріс санның қосындысы теріс сан; қосындының модулін табу үшін қосылғыштардың модульдерін қосу керек.
3) Таңбалары әр түрлі екі санның қосындысы модулі үлкен модульден кіші модульді азайтып, үлкен модульдің таңбасын қояды.
4) Модульдері тең ақарама-қарсы таңбалы сандардың қосындысы нөлге тең.
Екі нақты санның көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандыратын санды айтады:
1) Екі оң санның көбейтіндісі қашанда да оң сан болады және ол оң нақты сандар жиынында анықталған ережелер бойынша табылады.
2) Екі теріс санның көбейтіндісі оң сан болады; таңбалары әр түрлі екі санның көбейтіндісі қашан да теріс сан болады; көбейтіндінің модулін табу үшін, осы сандардың модульдерін көбейту керек.
Нақты сандарды азайту және бөлу сәйкесінше қосу және көбейтуге кері амалдар түрінде анықталады.