Иррационал сан ұғымы түбір табуға , кесіндінің ұзындығын өлшеуге және кейбір функцияларды зерттеуге байланысты пайда болған. Иррационал сөзі латынның irrationalis-ақылға ойға сыймайтын, негіздеуге болмайтын көмегімен санап шығуға болмайтын)
Шамаларды, атап айтқанда, ұзындықты өлшеу үшін рационал сандар қоры жеткіліксіз болады. Мысалы, қабырғасы өлшем бірлігіне тең болатын шаршы диагоналінің ұзындығын ешқандай рационал санмен өрнектеуге болмайды.
Шаршының диагоналі мен қабырғасы өлшемдес емес, яғни ұзындықтың бірлігі ретінде шаршыны қабырғасын алсақ, онда осы шаршының диагоналінің ұзындығын оң рационал сан арқылы өрнектеуге мүмкін болмайды.
Дәлелдеу: Қарсы жоримыз, яғни қабырғасы е болатын шаршының диоганалін m/n бөлшегімен өрнектеледі деп есептейік:
а = (m/n) Пифагор теоремасы бойынша е2 + е2 =а2 =( (m/n))2 немесе 2е2 = (m2/n2)2 немесе m2/n2 = 2. Бұдан m2= 2n2, яғни m немесе m – жұп сан. Сондықтан оны былай жазамыз: m = 2k.
Ендеше, 4k 2 = 2n2 немесе n2 = 2k2. Соңғы теңдікпен n саны да жұп сан деген қорытынды жасауға болады, яғни n = 2p.
Сөйтіп, m/n бөлшегінің алымы да, бөлімі де жұп сан болып отыр, демек олардың ортақ бөлімі бар, былайша айтқанда, m/n қысқартылмайтын бөлшек.
Ал, бұл біздің ұйғаруымыға қарама-қайшы келеді. Тағайындалған қарама-қайшылық, ұзындығын рационал санмен өрнектеуге болмайтын кесінділердің бар болатындығын дәлелдейді. Бұл сан жиындарын одан әрі кеңейтудің қажеттігі туралы қорытынды жасауға келтіреді. Бұған дейін қарастырылған және құрылған рационал сандарды тегі жаңа иррационал сандармен толықтыру керек болады.
Осы сандардың көмегімен ұзындықтың таңдап алынған өлшем бірлігімен өлшемдес болмайтын кесіндінің ұзындығын өрнектеуге болады. Егер кесіндінің ұзындығы ұзындықтың таңдап алынған өлшем бірлігімен өлшемдес болса, онда өлшеудің нәтижесі рационал санмен өрнектеледі.
Олай болса, кез келген кесіндінің ұзындығын, жалпы алғанда кез келген скляр шаманы өлшеу нәтижесі не рационал санмен, не иррационал санмен өрнектеледі.
Бізге бұрыннан белгілі болғанындай оң рационал сандарға амалдар қолдану, олар ондық бөлшек түрінде жазылған жағдайда қолайлы болады. Сондықтан шамаларды өлшеу нәтижесін де, нақтырақ айтқанда кесіндінің ұзындығын өлшеу нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазып көрсеткен тиімді.
Айталық, е- ұзындық бірлігі, ал а ұзындығы өлшенетін кесінді болсын және де а кесіндісі әрқайсысы е-ге тең n кесінділер мен е- ден қысқа а1 кесіндіден тұратын болсын, яғни nе < а < (n+1). Сонда n және n+1 сандары а кесіндісінің ұзындық бірлігі е болғандағы бірлікке дейінгі дәлдікпен кемімен және артығымен алынған жуық мәндері болып табылады.
Жауапты жоғары дәлелдікпен алу үшін е кесіндісінің оннан бір бөлігіне тең болатын е1 кесіндісін алып , оны а1 кесіндісі бойына саламыз. Мұнда екі жағдайы болуы мүмкін:
- е1 кесіндісі а1 бойына тура n1 рет салынады. Онда а кесіндісінің ұзындығы шектеулі ондық бөлшекпен өрнектеледі.
а = ( n + n1/10)е = n , n1е
- а1 кесіндісі әрқайсысы е1 -ге тең n1 кесінділер мен е1-ден қысқа а2 кесіндісінен тұрады. Онда n, n1 е < а < n, n1 е мұндағы n, n1 және n, n1 n сандары а кесінді ұзындығының 0,1-ге дейінгі дәлдікпен кемімен жәнее артығымен алынған жуық шама мәндері.
Өлшеу процесін осылайша жалғастыра отырып, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 мәндерінің бірін қабылдайтын және кез келген k үшін а кесіндісі (n, n1, n2… nk + 1/10k )е кесіндісінен кем болатындай n2, n3… nk сандарын шығарып аламыз.
Сонымен, егер кесінді ұзындығын ондық өлшеммен өлшеу процесі мүмкін болса, онда екі түрлі жағдай болады:
- Қандай да бір kқадам жасаған кесінді ұзындығын өлшеу процесі аяқталады. Онда а кесіндісінің ұзындығы n, n1, n2… nk түріндегі шектеулі ондық бөлшекпен өрнектеледі.
- Осы кесіндінің ұзындығын өлшеу процесі шексіз созыла береді. Оны шексіз ондық бөлшек деп аталатын n, n1, n2… nk символымен өрнектеуге болады. Бұл мына қасиетке ие болатын теріс емес m саны бар болатындығын білдіреді: ұзындығы 1/10k -не тең болатын кесінді а кесіндісінен кем және ұзындығы m+1/10k –не тең болатын кесінді а кесіндісінен артық болады.
Сонымен а кесіндісінің ұзындығы 1/10k мен m+1/10k сандары а кесінді ұзындығының кемімен және артығымен алынған жуық мәндерін ғана береді де, берілген кесіндінің ұзындығының дәл мәні неге тең деген сұраққа жауап бере алмайды.
Егер n, n1, n2… nk бөлшегінің қандай да бір цифрынан бастап барлық цифрларын алып тастаса, онда өлшенетін кесінді ұзындығынан кем болатын n, n1, n2… nk саны шығады; егер сонда алынған санның соңғы цифрын 1-ге арттырса, онда кесінді ұзындығынан артық сан шығады.
Сондықтан біз а кесіндісінің ұзындығы n, n1, n2… nk бөлшегімен өрнектеледі дейміз. Сонымен, біз әрбір кесіндіге шексіз ондық бөлшекті сәйкестендіретірдік. Керісінше, тоғыздықтың тізбегімен аяқталмайтын әрбір шексіз ондық бөлшек үшін ұзындығы осы бөлшекпен өрнектелетін кесінді табылады.
Кесінді ұзындығын өлшеу барысында алынатын бұл бөлшектер периодты немесе периодты емес болуы мүмкін. Шексіз периодты ондық бөлшектер оң рационал сандардың жазылуы екенін білеміз. Олай болса, шексіз периодты емес ондық бөлшектер жаңа оң иррационал сандардың жазылуы болып табылады.
Көбінесе, сан және жазылуы бірдей ұғымдар деп түсінілетіндіктен, шексіз периодты емес ондық бөлшек түрінде өрнектелетін сандарды иррационал сандар, ал шексіз периодты ондық бөлшек түрінде өрнектелетін сандарды рационал сандар деп атауға болады.
Иррационал сандар жиынын І деп, ал оң рационал сандар жиынын І+ деп белгілейді. Иррационал сандарға , , , сондай-ақ lg5, sin310 және π = 3,14, е = 2,7828… сандарын жатқызуға болады.