Иррационал (рационал емес) сан деп, ақырсыз периодсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болатын санды айтады. Мысалы, 0,101 10 1110 11110… . Математикада белгілі бір саны π саны, е саны (натурал логарифм негізі) – иррационал сандар.
Иррационал сан түсінігіне келтіретін мысалды мына теорема береді: «Квадраты 2-ге тең рационал сан жоқ». Басқаша айтқанда, рационал сандар жиынында х2-2 = 0 теңдеуін шешу мүмкін емес. Өйткені, бұл теңдеудің түбірлері мен — — иррационал сандар.
Осы сияқты квадраты 5-ке, 7-ге, 10-ға тең рационал сандар жоқ. Квадраты көрсетілген сандарға тең иррационал сандар сәйкес,, деп белгіленеді. Оларға қарама-қарсы -, -, -сандары да иррационал сандар.
Рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуі нақты сандар жиынын береді және оны R арқылы белгілейді.
Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады. Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса, онда бөлшек периодсыз болады.
Әрбір нақты санға координата түзуінің жалғыз нүктесі және керісінше, координата түзуінің әрбір нүктесіне жалғыз нақты сан сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, түзудегі нүктелер жиыны мен нақты сандар жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады.
Нақты сандар жиынын сандар түзуі деп те атайды. Сандар түзуінің геометриялық моделі (бейнесі) – координата түзуі.
Ақырлы ондық бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу ережелері бізге белгілі. Ақырсыз ондық бөлшекерге қолданылатын бұл амалдар ережелері шексіз процестерді талап етеді, сондықтан да олар теориялық тұрғыдан ғана маңызды.
Практикада ақырсыз ондық бөлшектерді (нақты сандарды) жуықтап қосады, азайтады, көбейтеді және бөледі.
Оң ақырсыз ондық бөлшектегі үтірге дейінгі санды осы бөлшектің бүтін бөлігі деп атаймыз.
Ақырсыз ондық бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифр осы бөлшектің бірінші разрядының цифры, үтірден кейінгі екінші цифр – екінші разрядтық цифр, үшіншісін – үшінші разрядтық цифр, т.с.с атайды.
Егер α оң сан болса, онда – α теріс, ал α теріс сан болса, онда – α оң сан болады; α = 0 болса, онда – α = 0 болады.
Α нақты санының модулі немесе абсолют шамасы деп,
егер α оң сан болса, α санының өзін,
егер α нөл болса, нөлді;
егер α теріс сан болса – α санын айтады.
Бұл анықтамадан санның модулі оң сан немесе нөл болатынын көреміз. Мысалы, a =, b = — , с = 0 болса, онда: ׀ а ׀ = , ׀ b ׀ = — , ׀ с ׀ =0.
Нақты сандарды салыстыруға тоқталайық:
Екі ақырсыз ондық бөлшек сандарды берілсін ( екеуінің де периоды 9 емес деп санаймыз). Оларды салыстыру үшін келесі ережелерді қолдануға болады.
1-ереже. Егер екі нақты санның таңбалары бірдей болып олардың модульдерінің бірдей бүтін бөліктері және сәйкес разрядтарының бірдей цифрлары бар болса, онда олар тең болады.
Бірақ нөл саны үшін:
0 = 0,000… = — 0,000… = + 0,000…
болатынын еске саламыз.
2-ереже. Теріс сан 0-ден кіші және кез келген оң нақты саннан кіші. 0-саны кез келген оң нақты саннан кіші.
3-ереже. Екі оң нақты сандардың қайсысының бүтін бөлігі үлкен болса сонысы үлкен. Ал, егер бүтін бөліктері бірдей болса, онда цифрлары әртүрлі болатын ең кіші разрядына қараймыз; қайсы санның осы разрядының цифры үлкен болса, сол сан үлкен.
Теріс нақты сандар үшін бәрі керісінше: олардың қайсысының модулі кіші болса, сонысы үлкен болады.
Егер а мен b нақты сандары тең болса, онда а = b деп жазады. Егер де а саны b-дан кіші болса, онда а < b немесе b > а деп жазады, а саны b-ға тең емес болса, оны а ≠ b деп жазады.
Мысалы: -3,1 мен – 3(1) сандарын салыстыру керек:
׀-3,1׀ = 3,1 =3,1000…; ׀ -3,(1) ׀ =3,(1) = 3,111…;
3,1 <3,(1) болғандықтан -3,1 >-3,(1) болады (3-ереже).
Жоғарыдағы айтылған ережелерді геометриялық тұрғыдан былайша айтуға болады:
Берілген екі санның координаталар түзуінде қайсысы оң жағында орналасса сонысы үлкен (оң жай бөлшектерді салыстыру ережесін §2, 12п. қараңыз).
<, > — қатаң теңсіздік таңбалары , ал ≥, ≤ — қатаң емес теңсіздік таңбалары.
а ≤ b жазуы «а саны b-дан кіші немесе а саны b-ға тең» деген айтылымдардың ең болмағанда біреуінің дұрыс екенін білдіреді (а ≤ b жазуын – «а саны b-дан үлкен емес» — деп те оқиды). Мысалы, 3 ≤ 5, 5 ≥ 5 дұрыс теңсіздіктер.
а ≥b болса, онда а-ны теріс емес сан деп театайды.
Егер а < b және b< с болса, онда а < b < с жазуы (қос теңсіздік) қолданылады.
Кез келген a, b, c, d нақты сандар үшін келесі қасиеттер орындалады
- 10. а < b болса, онда а < b < с болатындай с саны табылады.
- 20. а < b және b< с болса, а < с болады (теңсіздіктердің транзитивті (алмасымдылық) қасиеті);
- 30. Егер а < b болса, а+с < b +с;
- 40. Егер а < b болса, онда кез келген с > 0 саны үшін ас < bс;
- 50. Егер а < b және с< 0 болса, онда ас > bс;
- 60. Егер а < b және с< d болса, онда а+с < b +d;
- 70. Егер a, b, c, d – оң сандар болып, а < b және с< d болса, онда ас < bd;
- 80. Егер а < b және с > d болса, с-а > d- b ;
- 90. Егер а > b > 0 болса, онда ;
- 100. Егер а > b > 0 болса, онда кез келген натурал n саны үшін аn > bn теңсіздігі орындалады.
Нақты сандар үшін орындалатын амалдар ережесіне тоқталып көрейік:
Таңбалары бірдей екі санның қосындысын табу үшін олардың модульдерін қосып, қосынды алдына қосылғыштардың таңбасы жазылады. Мысалы,
(+12) + (+8) = +20; (-12) +(-8) = -20.
Таңбалары әртүрлі екі санның қосындысын табу үшін қосылғыштардағы үлкен модульден кіші модульді шегеріп, айырма алдына модулі үлкен санның таңбасын жазады. Мысалы,
(+12) + (-8) = + (12-8) = 4; (-12) + (+8) = — (12-8) = -4.
Бір саннан екінші санды шегеру үшін, азайтқышқа қарама-қарсы санды азайғышқа қосады. Мысалы,
12- (-8) = 12+(+8) = 20; 12- (+8) = 12+ (-8) = 4.
Екі санның көбейтіндісі (бөліндісін) табу үшін ол екі санның модульдерін көбейтеді де (бірінші санның модулін екінші санның модуліне бөледі де), көбейтінді (бөлінді) алдына – егер екі сан бірдей таңбалы болса, «+», ал әртүрлі таңбалы болса «-» таңбасын жазады. Мысалы,
(-12) * (-8) = +12* 8 = 96; (-24) /(+3) = — 24/3 = -8.