В XX веке созданы и развиты различные теории и методы регулирования мировой экономики. Востребованность таких исследований особенно возросла после Великой депрессии (1929—1933 г.г.) и Второй мировой войны. Увеличилась необходимость в планировании (текущем, оперативном, стратегическом) и прогнозировании.
Объясняется это, прежде всего тем, что современная экономика представляет собой открытую систему, построенную на прямых и обратных горизонтальных и вертикальных связях, и может успешно развиваться только при наличии эффективного управления этими связями, как на макро -, так и на микроуровне. При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна для всех стран.
Важным инструментом прогнозирования является разработанный В.Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать адекватные меры.
Действительно, реальное равновесие на рынке возможно лишь при совпадении ожиданий производителей и потребителей, так как на практике равновесие достигается достаточно редко, поскольку в реальной жизни неизбежны экономические кризисы, неполное или неэффективное использование ресурсов. И даже, несмотря на это можно утверждать, что необходимость в балансовом методе очевидна.
Итак, целью работы будет изучения модели Леонтьева «затраты-издержки», универсальность которой представляет редкостное явление, её математической интерпретации макроэкономического равновесия и экономического роста (ведь равновесие всегда выходит на первый план в масштабах всей экономики). Для этого необходимо рассмотреть специфику межотраслевого баланса как балансового метода, а также проследить его историческое развитие, выразившееся, в конечном счете, в модели «затраты-выпуск» Леонтьева. Следующими задачами являются анализ таблиц межотраслевого баланса, их представления в статическом и динамическом виде, а также возможностей практического применения. Для этого одна из глав посвящена вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса.
Американский экономист Василий Леонтьев родился в Санкт-Петербурге (Россия). Его родители – Василий Леонтьев, профессор экономики, и Евгения (в девичестве Беккер) Леонтьева. Годы детства Л. были временем великих социальных и политических потрясений. Ему было восемь лет, когда началась первая мировая война. Он был непосредственным свидетелем беспорядков русской революции и сохранил в памяти выступление Ленина на массовом митинге у Зимнего дворца в Петрограде, на котором присутствовал.
Поступив в 1921 г. в Ленинградский университет, сначала изучал философию и социологию, а затем экономические науки. После окончания университета в 1925 г. он продолжил свое образование в Берлинском университете. В 1927…1928 гг., будучи еще студентом, он начал свою профессиональную карьеру в качестве младшего научного сотрудника Кильского университета. В возрасте 22 лет он получил степень доктора наук по экономике.
Следующий год Л. провел в Панкине в качестве экономического советника при министерстве железных дорог Китая. Эмигрировав в 1931 г. в Соединенные Штаты, он поступил на работу в Национальное бюро по экономическим исследованиям. В 1932 г. он женился на поэтессе Эстелл Хелен Маркс. Их единственная дочь Светлана Алперс (по мужу) позже стала профессором истории искусств в Калифорнийском университете в Беркли.
Л. начал свою продолжительную работу в США в Гарвардском университете в 1931 г. в качестве преподавателя экономики. В 1946 г. он стал полным (действительным) профессором. Через два года после этого он основал Гарвардский экономический исследовательский проект – центр исследований в области анализа по методу «затраты – выпуск» – и руководил этим проектом до его закрытия в 1973 г. Там же, в Гарвардском университете, Л. заведовал кафедрой политической экономии имени Генри Лис 1953 по 1975 г., после чего занял пост профессора экономики и директора Института экономического анализа Нью-Йоркского университета.
Начиная с публикации в 1936 г. его первой статьи, посвященной методу «затраты – выпуск», научные произведения Л. отличались высокой аналитической строгостью и широким диапазоном интересов к общим экономическим проблемам. Хотя Л. сам является квалифицированным математиком, он постоянно критикует попытки применять математические теории к объяснению мировых экономических проблем. По его мнению, экономика относится к числу прикладных наук, и ее теории могут принести пользу, если будут эмпирически осуществлены в жизни.
Эта точка зрения четко прослеживается уже в его первой книге «Структура американской экономики, 1919…1929 гг.: эмпирическое применение анализа равновесия» («The Structure of the American Economy, 1919…1929: An Empirical Application of Equilibrium Analysis»), опубликованной в 1941 г. Эта исходная работа. излагающая метод экономического анализа «затраты – выпуск», легла в основу репутации Л. как выдающегося новатора в области экономики. Однако признание его системы в мире, охваченном Великой депрессией, пришло не сразу. Самыми болезненными экономическими проблемами тогда были хроническая безработица и нестабильность капиталистической экономики. Мир тогда целиком внимал английскому экономисту Джону Мейнарду Кейнсу, опубликовавшему в 1936 г. книгу под названием «Общая теория занятости, процента и денег» («The General Theory of Employment, Interest, and Money»).
Во время второй мировой войны безработица как проблема исчезла, но после войны снова резко обострилась. Вот тогда-то впервые Бюро статистики труда Соединенных Штатов обратилось к леонтьевскому методу «затраты – выпуск». Сначала в 1939 г., а затем в 1947 г. модель Л. была использована для того, чтобы предсказать, как всеобщая занятость и занятость по секторам будет изменяться по мере того, как экономика переходит от мира к войне и обратно. Экономика разоружения также впоследствии стала одним из предметов исследовательской деятельности Л., глубоко интересовавших его всю жизнь. Менее чем за 10-летие после работы, проведенной Бюро статистики труда, метод Л. стал главной составной частью систем национальных счетов большинства стран мира, как капиталистических, так и социалистических. Он применяется и совершенствуется до сих пор правительственными и международными организациями и исследовательскими институтами во всем мире.
Анализ по методу «затраты – выпуск» относится к той области экономики, создателем которой был французский экономист XIX в. Леон Вальрас и которая известна как теория всеобщего равновесия. Она ставит в центр внимания взаимозависимость экономических отношений, представленную системой уравнений, выражающих экономику как единое целое. С самого начала своей работы Л. признавал систему взаимозависимостей Вальраса. Но до систематического применения Л. этих взаимозависимостей на практике анализ всеобщего равновесия не использовался как инструментарий в процессе формирования экономической политики. До нововведений Л. главным методом в основном потоке экономической науки был анализ частичного равновесия, ставящий в центр внимания небольшое число изменяющихся переменных. Так, например, экономист мог рассчитать, как налог на импортную нефть мог отразиться на спросе на автомобильный бензин, игнорируя при этом любые отдаленные последствия, которые этот налог мог вызвать в сталелитейной промышленности. Экономисты в течение длительного времени сознавали тот факт, что анализ частичного равновесия серьезно искажает реальность, если масштабы промышленности или степень изменений, которые подвергаются изучению, достаточно велики.
Применение Л. системы Вальраса для решения этой проблемы и анализ Л. по методу «затраты – выпуск» связаны с составлением шахматных таблиц (шахматных балансов). Такая таблица делит хозяйство на большое число отраслей (секторов) – первоначально на 44 сектора. Продажи промежуточных продуктов и готовых товаров секторами, перечисленными в левой стороне таблицы, вписываются в вертикальные колонки под наименованиями соответствующих секторов, записанными в том же порядке в верхнем горизонтальном ряду. Вторая таблица, или сетка, составленная из «технических коэффициентов», выводится из закрытой модели шахматной таблицы Когда эти коэффициенты расставляются в системе уравнений, которые решаются одновременно, составляется третья таблица, называемая «инверсией Л.», которая показывает, что требуется от каждого сектора для приращения общего выпуска на один доллар.
Значение инверсии Л. определяется тремя обстоятельствами. Во-первых, ее использование привело к улучшению положения при сборе международных экономических и статистических данных, невероятно выросших количественно в последние десятилетия. Во-вторых, инверсия в деталях раскрывает работу внутреннего механизма хозяйства, причем ограничителем выступает только громоздкость расчетов. В-третьих, после оценки спроса на готовые товары или определения его перспективы инверсия может быть использована для проведения анализа экономической политики, поскольку она показывает – и прямо, и косвенно, – что требуется от каждого сектора в виде затрат для увеличения выпуска данных товаров.
Л. совершенствовал свою систему на протяжении 50-х и 60-х гг. С появлением более сложных компьютеров он увеличивал количество секторов и освобождался от некоторых упрощающих предположений, прежде всего от условия, что технические коэффициенты остаются неизменными, несмотря на изменение цен и технический прогресс. Чтобы исследовать проблемы экономического роста и развития, Л. разработал динамический вариант прежде статичной модели анализа «затраты – выпуск», добавив в нее показатели потребностей в капитале к списку так называемого конечного спроса, или конечных продаж. Поскольку метод «затраты – выпуск» доказал свою полезность в качестве аналитического инструмента в новой сфере региональной экономики, шахматные балансы начали составляться и для хозяйства некоторых американских городов. Постепенно составление таких балансов становилось стандартной операцией. В министерстве торговли Соединенных Штатов, например, управление межотраслевой экономики начало публиковать такие балансы каждые пять лет. Организация Объединенных Наций, Всемирный банк и большая часть правительств, включая правительство Советского Союза, также включились в работу по применению анализа «затраты – выпуск» в качестве важнейшего метода экономического планирования и бюджетной правительственной политики.
Анализ по методу «затраты – выпуск» остается не менее продуктивным инструментом и при фундаментальных экономических исследованиях, в области которых Л. продолжал работать на важных направлениях. Например, начав, как и Вальрас, с неизменных технических коэффициентов, Л. позднее стал применять гибкие коэффициенты к ценовым отношениям и к техническому развитию.
В середине 50-х гг. он доказал, что американский экспорт содержит больше трудозатрат, чем импорт, бросив тем самым вызов основному догмату теории международной торговли. Известный как «парадокс Л.», этот фундаментальный принцип стал источником более глубокого понимания структуры торговли в отношениях между странами.
Успех Л. в применении моделей экономического анализа «затраты – выпуск» в немалой степени объясняется его выдающимися способностями как экономиста широкого профиля, имеющего разнообразные интересы во многих областях, таких, например, как теория международной торговли, теория монополии, эконометрика. Отношение Л. к методологии было четко выражено на протяжении десятилетий его научной деятельности. Он выступал против «имплицитного», как он это называл, экономического теоретизирования, присущего линии Кембриджской школы (Джон Хикс и Кейнс). В книге «Очерки по экономике: теории и теоретизирование» («Essays in Economics: Theories and Theorizing», 1966) Л. писал: «Имеет значение прежде всего уместность основных материальных посылок, способность эффективно использовать все фактические данные, имеющиеся в распоряжении, и определить перспективные направления дальнейших теоретических исследований и эмпирических поисков».
Л. был удостоен Премии памяти Нобеля по экономике в 1973 г. «за развитие метода «затраты – выпуск» и за его применение к важным экономическим проблемам». Будучи одним из первых экономистов. озабоченных воздействием экономической активности на качество окружающей среды, Л. привел в своей Нобелевской лекции простую модель «затраты – выпуск», относящуюся к мировой экологии, в которой загрязнение среды отчетливо фигурировало как самостоятельный сектор. «В менее развитых странах, – заключил он, – внедрение смягчающей деятельности строгих стандартов против загрязнения среды… вызовет увеличение занятости, хотя и потребует некоторых жертв в сфере потребления».
Исследование Л. воздействия различных экономических стратегий на окружающую среду и на развитие мировой экономики продолжалось и в дальнейшем. Промежуточные итоги исследований Л. в этой области были опубликованы в 1977 г. в виде книги «Будущее мировой экономики» («The Future of the World Economy»).
Его работа над проблемами мировой экономики, особенно над межотраслевыми отношениями, продолжается под эгидой Организации Объединенных Наций и Института экономического анализа при Нью-Йоркском университете. Анализ по методу «затраты – выпуск» признан классическим инструментом в экономике, и Л. наравне с Кейнсом считается ученым, внесшим крупнейший вклад в экономическую науку XX в. Л. является американским гражданином.
Помимо Нобелевской премии, он был возведен в звание офицера Почетного легиона Франции. Он – член американской Национальной академии наук, Американской академии наук и искусств. Британской академии и Королевского статистического общества в Лондоне. Он занимал пост президента Эконометрического общества в 1954 г. и Американской экономической ассоциации в 1970 г. Среди прочих ему присвоены почетные докторские степени университетов Брюсселя, Йорка, Лувена, Парижа.
Экономико-математические модели: сущность и виды
В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса).
Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.
Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу.
Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.
На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует.
Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы.
Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.
Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Эта модель , отображающая зависимость между спросом и ценой
Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.
Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений.
Необходимо отметить, что опять же единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков их классификации . Рассмотрим некоторые из них:
по общему целевому назначению:
- теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов).
- прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач).
2 . по степени агрегирования объектов в моделировании:
- макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого).
- Микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы).
- по конкретному предназначению (т.е. по цели создания и применения):
- балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования).
- трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей).
- оптимизационные (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления).
- имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) и др.
- по типу информации:
- аналитические (построенные на априорной информации).
- идентифицируемые (построенные на апостериорной информации).
- по учёту фактора времени:
- статические (в них все зависимости отнесены к одному моменту времени).
- динамические (описывают экономические системы в развитии).
- по учёту фактора неопределённости:
- детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями).
- стохастические (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора).
- по типу математического аппарата, используемого в модели:
- матричные модели
- модели линейного и нелинейного программирования
- корреляционно-регрессионные модели
- модели теории массового обслуживания
- модели сетевого планирования и управления
- модели теории игр и др.
- 8. по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:
- дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений).
- нормативные (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев).
В данной курсовой работе в качестве примера будет рассмотрена экономико-математическая модель межотраслевого баланса (МОБ) — таблица «затраты-выпуск». С учётом приведённых выше классификационных рубрик это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ.
Итак, МОБ относят к балансовым моделям. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. В данном случае рассматривается система экономических объектов, которые выпускают некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта.
Если вместо понятия конечного продукта ввести более общее понятие ресурс, то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.
Кроме требования соответствия каждого продукта и потребности в нём, могут указываться такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. При этом соответствии понимается либо как равенство, либо менее жёстко – как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.
Важнейшие виды балансовых моделей:
- частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;
- межотраслевые балансы;
- матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.
Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчётных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Однако необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы.
Этим определяется ограниченность балансовых моделей и балансового метода в целом.
Теперь обратимся к истории создания данного балансового метода.
Возникновение и развитие метода «затраты – выпуск»
Итак, при анализе структурных взаимосвязей в национальной экономике в системе национального счетоводства используется балансовый метод, получивший названия «затраты-выпуск».
Как уже отмечалось, в его основе лежит идея о том, что описание экономической системы можно осуществлять путём редукции процессов и продуктов, т.е. выражения через другие процессы и продукты.
Эта идея была высказана достаточно давно. Принцип взаимозависимости имеет довольно длинную историю, которая началась еще до Вальраса и Парето. Его истоки можно обнаружить в учении французских физиократов XVIII в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей «Экономической таблице» пытался показать, как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Кенэ ставил перед собой задачу доказать преимущественное значение сельского хозяйства в экономике, как и то, что только сельскохозяйственный труд создает доход общества Аналогичную схему разработал и Маркс, но определяющее значение у него имеет уже не сельское хозяйство, а промышленность. Это особенно отчетливо выражено в схемах воспроизводства, содержащихся во II томе «Капитала». Эти «модели», однако, представляли собой довольно общую схему экономики.
В схеме Маркса экономика состоит из двух подразделений: производство средств производства и производство предметов потребления; такое деление, несмотря на его слишком широкий характер, с пользой служит экономистам вот уже в течение ряда десятилетий.
Заслуга первого точного теоретического определения принципа взаимозависимости принадлежит Леону Вальрасу. В его модели содержатся функции полезности, функции предложения и спроса, а также коэффициенты производства, так что это давало возможность определить цены и количество товаров, поступающих на рынок. Но схема Вальраса носила чисто теоретический характер; он выражал сомнение в практической применимости ее, ибо вряд ли когда-либо будут доступны необходимые статистические данные. Парето и Бароне также не верили в то, что теорию равновесия можно наполнить реальным содержанием. В течение длительного времени экономисты ставили под вопрос «разрешимость» Вальрасовой системы то есть существование единственного в своем роде и определенного равновесия. Лишь в 1930-х годах видный математик Абрахам Вальд доказал возможность такого решения нарушалось (в отличие от системы Вальраса). Как показал Вальд, в теории Вальраса содержалось в лучшем случае лишь одна линия равновесия. Построения Парето имели более богатое содержание, потому что он стремился использовать различные технические коэффициенты, а не одну однородную линейную производственную функцию.
Хикс же, как и Самуэльсон, стремился к тому, чтобы система реагировала на изменения в параметрах . Еще одна трудность в теории Вальраса заключалась в том, что, поскольку имелись уравнения для каждого товара и фактора, даже для небольшой по масштабам «экономики` приходится `решать` тысячи уравнений. Вопрос агрегирования не приходил на ум Вальрасу, поэтому всякое практическое использование разработанной им системы было вне человеческих возможностей.
Первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия была таблица затраты — выпуск Василия Леонтьева. Эта таблица впервые была опубликована в работе «Структура американской экономики в 1919-1929 гг.» Основные идеи, заложенные в методе затраты — выпуск, были сформулированы Леонтьевым еще в студенческие годы (однако подробнее об этом будет сказано в следующем параграфе).
Метод затраты — выпуск определенно отвечал критерию подлинно научной теории: он знаменовал собой программу эмпирических исследований, преследовавших цель наполнить теоретические построения реальным содержанием. По мере того как накапливались статистические данные и создавались теоретические построения, пригодные для числовой обработки, экономическая наука начала покидать сферу чистого мышления и все чаще соединяла теорию с фактами. Казался близким день, когда об экономистах уже никто не мог бы сказать, что они стремятся, «…разделив одну экономическую фикцию на другую, получить реальный факт»). С появлением метода затраты — выпуск возникло убеждение, что теория общего равновесия, выступавшая до сих пор в исключительно абстрактной форме, какую ей придал Вальрас, сможет быть наполнена практическим содержанием. Этому способствовало и появление быстродействующих электронно-вычислительных машин.
Складывалось мнение, что экономисты, в конце концов, выйдут за пределы статистического изучения временных рядов и анализа по методу регрессии, с помощью которых исследовались лишь отдельные стороны экономической действительности. Хотя Парето и даже Викселль сомневались в возможности численного решения модели экономического равновесия, Вальд и Джон фон Нейман доказали необоснованность этих сомнений .
Дискуссия вокруг этого аспекта теории равновесия началась с замечания, сделанного в 1932 г. Гансом Нейссером ; последний заявил, что требуется нечто большее, чем просто установить цены и показатели производства в неотрицательных величинах. Несколькими годами позже Карл Менгер отметил, что одна из функций экономической модели состоит в том, чтобы установить различие между свободными и редкими благами. Этой же проблеме уделял внимание и Вальд в статьях, относящихся к 1935 и 1936 гг. Нейман же в своей модели пошел дальше статической системы Вальда, ибо он ввел несколько вариантов производства, хотя и с фиксированными коэффициентами. И что важно, товары рассматривались одновременно и как затраты, и как продукты, а это подводило к понятию обращения товаров между отраслями экономики. В анализ входил и потребительский спрос, причем труд рассматривался как продукт домашнего хозяйства, а средства существования — как издержки этого «выпуска». Вся система была замкнутой, лишенной каких-либо излишков, необходимых для инвестирования. Вопрос заключался в том, может ли быть сохранено равновесие экономики, если последняя растет и расширяется? Нейман показал, что при условии пропорционального роста во всех секторах экономики по крайней мере в одном из них темп определяется нормой процента.
Если же одна из отраслей растет быстрее, чем процентные платежи, то образуется неоплаченный излишек. Таким образом, в модели Неймана присутствует известный элемент динамики. Эти чрезвычайно абстрактные построения, перегруженные математическими расчетами, дали тем не менее толчок развитию не только метода затраты — выпуск, но и линейного программирования .
Но самый ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах Леонтьевым, создавшим метод затраты — выпуск. Отныне стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современная электронно-вычислительная машина способна с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных. Метод затраты — выпуск вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане. Как заметил Леонтьев, имеется определенная связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте . По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета, где каждый сектор имеет собственный «бюджет» экономической активности
Модель В.В.Леонтьева многоотраслевой программы
Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Математическая модель Леонтьева позволяет анализировать связь между отраслями.
Задача. В таблице 1 приведены данные об использовании стоимостного баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:
| № п/п
|
Отрасль | Потребление | Конечный продукт | Валовый продукт
|
|
| Q1 | Q2 | ||||
| 1 | Q1 | 3 | 8 | 89 | 100 |
| 2 | Q2
|
5 | 7 | 88 | 100 |
Требуется:
1)составить матрицу прямых затрат и проверить ее продуктивность;
2)вычислить объемы конечного продукта при увеличении валового выпуска каждой отрасли соответственно на 100% и 50%;
3)Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли Q1 увеличить в k = 1 раз, а отрасли
Q2 – на 10%.
Решение:
- Введем в рассмотрение матрицу X = ( ) и векторы y = ( ), x = ( )
Составим матрицу прямых затрат А, учитывая, что ее элементы
A = : A = ( )
Легко видеть, что сумма элементов столбцов (строк) А меньше единицы. Следовательно, в силу второго критерия продуктивности (матрица продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы) матрица А продуктивна.
- Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид:
X = Ax + y
При увеличении валового выпуска отраслей Q1 и Q2 соответственно на 100% и 50% получим новый вектор валового выпуска x=( )
Вектор потребления y1, соответствующий вектору x1, найдем из уравнения баланса: Y1 = ( E — A)x1 = ( )( ) = ( )
Изменения объемов конечного продукта Q1 на 182 – 89 = 93 ед. или 104,5%, Q2 – на 129,5 – 98 = 41,5 ед. на 47,2%.
- Конечное потребление отрасли Q1 остается без изменения, а отрасли Q2 станет равным Получим новый вектор потребленияy2 = ( )
Новый вектор валового выпуска найдем из уравнения баланса
X2 = (E – A ) y1
Обратная матрица (E — A) = ( ) = ( )
Откуда x2 = ( ) * ( )= ( )* ( )
Валовый продукт отраслей необходимо увеличить Q1 на 0,38%, Q2 – на 9,88%.
- Простейший вариант динамической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.
Изложенная в п.1.1 модель В.В. Леонтьева носит статический характер. В ней не учитывается фактор времени, оказывающий непосредственное влияние на величины валовых выпусков и конечного потребления. В данном разделе мы рассмотрим простейший динамический аналог модели В.В. Леонтьева, лишенный этого недостатка. Обозначим через
вектор валовых выпусков в период времени t,
x(t)=Ax(t + 1) + w(t)
— вектор конечных выпусков в период времени t. Предположим, что продукция, произведенная в период времени t, расходуется на производство продукции в период времени t + 1. Тогда модель межотраслевого баланса будет иметь вид
X(t) = Ax(t +1) + w(t)
Соотношение представляет собой простейший вид динамической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.
Пример 1.1. При математическом моделировании экономических явлений особый интерес представляют случаи, когда макроэкономические показатели производства и потребления описываются некоторым специальным законом изменения во времени. Одним из таких законов является режим сбалансированного экспоненциального роста, в котором макроэкономические показатели производства и потребления изменяются с некоторым постоянным темпом s. В этом случае параметр s интерпретируется как темп роста экономики (s > 1 — рост, s < 1 — деградация). Предположим, что показатели валового выпуска x(t) и конечного потребления w(t) растут во времени с постоянным темпом s. Тогда
X(t)=sx, w(t)=sw,
где и — некоторые начальные значения валового выпуска и конечного потребления. Обозначим ρ = 1/s; . Пользуясь соотношением (0.4), получим
(pE – A)x = pw
где E — единичная матрица. Таким образом, задача о нахождении валового выпуска при известном конечном выпуске сводится доказательству существования и вычислению обратной матрицы к матрице вида (ρE — A), где ρ ≥ 0 — неотрицательная матрица. В главе 2 будет показано, что для существования режима сбалансированного роста в модели (0.4) необходимо и достаточно, чтобы темп роста s < 1/λ(A), где l(A) — наибольшее вещественное неотрицательное собственное число матрицы A3 0, называемое числом Фробениуса-Перрона матрицы A.