Анықтама.
- Құрамындағы әріптердің ақиқаттық мәндерінің кез келген орналасуында тек ақиқат мән қабылдайтын формуланы тавтология (жалпымәнді) деп атаймыз. Егер j формуласы тавтология болса, оны |= j арқылы белгілейміз.
- Әрқашан тек жалған мәнін қабылдайтын формуланы қайшылық деп атайды. қайшылық болмайтын формулалар орындалатын формулалар деп аталады.
Мысалдар.
- jÚØj, j®(j®j), (Øj®Øy)®((Øj ®y)®j) формулалары тавтология болады.
- Ал jÙØj, Ø(Øj®Øj), Øq«q формулалары қайшылық мысалдары.
- jформулалары тавтология да, қайшылық та болмайтын орындалатын формулалар.
Қасиеттері.
. Егер j және j®y формулалары тавтология болса, онда y формуласы да тавтология болады.
Дәлелдеуі. Кері жориық. y формуласы тавтология болмасын, ондаақиқаттық функциясы табылып,болады. Ал j және j®y формулалары тавтология болғандықтан, а, (j®y)=а, ал анықтама бойынша (j®y) =(j)®(y)=а. Ал (j)=а. Демек,болуы керек. Қайшылық. Осы қайшылық біздің жоруымыздың қателігін көрсетеді. Яғниформуласы тавтология. Символды түрде |=.
.– j тавтологиясында кездесетін әріптер, алформуласыформуласынанәріптерін сәйкес еркін алынған q1,…, qn формулаларымен ауыстыру арқылы алынған болса, ондаформуласы да тавтология болады.
Дәлелдеуі. Кері жориық. Қандай да бір ақиқаттықфункциясы үшін () = ж болсын. Онда (q1)=t(А1),…,(qn)=t(Аn) теңдіктерімен t ақиқаттық функциясы анықталады.формуласыныңанықтамасы бойынша, қандай да бірлогикалық функция (функцияның мәні өрнектегі әріптерге қолданылатын логикалық амалдарға ғана тәуелді) табылып, j =¦(A1,…,An) және=¦(q1,…,qn) болғандықтан,
() = ¦(t(A1),…,t(An)) =¦((q1), …, (qn)) = () = ж
Бұл j формуласының тавтология болатынына қайшы. Ендешеформуласы да тавтология болады.
Ескерту. Жалпы жағдайда тавтологиялар біздің табиғи түйсігіміздегі ақиқат тұжырымдарға сәйкес келеді. Мысалы, A→Aнемесе ØØ Р→Рформулаларының тавтология болатыны бізді таң қалдырмайды. Ал егер Р:={Тазша бала айда тұрады} және Q: ={Есек деп үшжүз жасқа келген қоянды айтады} пікірлері берілсе, олардың арасындағы логикалық байланысты табу қиын. Бірақ, (P→Q)Ú( Q→P ) формуласы тавтология(дәлелде!).
Мысалдар.
- j®(y®j) (мұндағы j және y кез келген формулалар) формуласының тавтология болатындығына көз жеткізу үшін қасиет бойынша А®(В®А) формуласыныңтавтология болатындығын көрсетсек жеткілікті. Ал А®(В®А) формуласыныңтавтология болатындығын ақиқаттық кесте құру арқылы оңай анықтайаламыз.
- Әдетте, қандай да бір формуланың тавтология болатынын ақиқаттық кесте құру арқылы дәлелдеуден, кері жору жолымен дәлелдеген тиімді.
(j®(y®q))®((j®y)®(j®q)) формуласының тавтология болатынын дәлелдейік. Кері жоримыз. Яғни (j®(y®q))®((j®y)®(j®q)) формуласы қандай да бір ақиқаттық мәндердің орналасуында жалған мән қабылдасын дейік, онда ІІІ ереже бойынша осы орналасуда (j®(y®q)) формуласының мәні ақиқат (1), ал (j®y)®(j®q) формулласының мәні жалған болады. Соңғысынан тағы да ІІІ ереже бойынша j®y – а және j®q – ж (2) болатынын көреміз. Ендеше j формуласы ақиқат, ал q формуласы жалған мән қабылдайды. Онда (2) бойынша y формуласының мәні ақиқат болуы керек. Демек, (j®(y®q)) формуласы жалған мән қабылдайды. Бұл (1)-ге қайшы. Сондықтан берілген формуламыз жалған мән қабылдай алмайды. Яғни ол тавтология болады.