Иррационал сан ұғымы
- Нақты сандар жиыны
Иррационал сан ұғымы түбір табуға, кесіндінің ұзындығын өлшеуге және кейбір функцияларды зерттеуге байланысты пайда болған. Атап айтқанда шамаларды, ұзындықты өлшеу үшін рационал сандар торы жеткіліксіз болады. Мәселен, қабырғасы өлшем бірлігіне тең болатын шаршы диоганалының ұзындығын ешқандай рационал санмен бағалауға болмайды.
Теорема. Шаршының диогогалымен қабырғасы өлшемдес емес, яғни ұзындықтың бірлігі ретінде шаршының қабырғасын алсақ, онда осы шаршының диогоналының ұзындығын оң рационал сан арқылы өрнектеу мүмкін болмайды.
Бұған дейін қарастырылған және құрылған рационал сандарды тегі жаңа, ирроционал сандармен толықтыру керек болады. Осы сандардың көмегімен ұзындықтың таңдап алынған өлшем бөлігімен өлшемдес болмайтын кесіндінің ұзындығын өрнектеуге болады. Егер кесіндінің ұзындығы ұзындықтың таңдап алынңан өлшем бірлігімен өлшемдес болса, онда өлшеудің нәтижесі рационал санмен өрнектеледі.
Олай болса, кез- келген кесіндінің ұзындығын, жалпы алғанда кез – келген аддитивті – скаляр шаманы өлшеу нәтижесіне рационал санмен, не иррационал санмен өрнектеледі. Біз кесіндінің ұзындығын өлшеу процесі арқылы иррационал сан ұғымына келдік. Иррационал сандарды қандайда бір рационал саннан түбір табу барысында да шығарып алуға болады.
Егер кесінді ұзындығын ондық өлшеммен өлшем процесі мүмкін болса, онда екі жағдай болады:
- Қандайда бір к қадам жасағанда кесінді ұзындығын өлшеу процесі аяқталады. Онда а кесіндісінің ұзындығыn n,n1, n2, … nк түріндегішектеуді ондық бөлшекпен өрнектеледі
- Осы кесіндіні ұзындығын өлшеу процесі шексіз созыла береді. Оны шексіз ондық бөлшек деп аталатын n, n1 n2 … nkсимволмен өрнектеуге болады.
Кесінді ұзындығын өлшеу барысыда алынатын бұл бөлшектер периодты немесе периодты емес боуы мүмкін. Шексіз периодты ондық бөлшектер оң рационал садардың жазылу екенін білеміз. Олай болса, шексіз реиодты емес ондық бөлшетер жаңа – он ирационал сандардың жазылуы болып табылады.
Сан және оның жазылуы бірдей ұғымдар деп түсінілетіндіктен, шексіз периодты емес ондық бөлшек түрінде өрнектелетін сандарды иррауионал сандар, ал шексіз периодты ондық бөлшек түрінде өрнектелетін сандарды рационал сандар деп атауға болады. Иррационал сандар жиыны I деп белгілейді.