Анықтама. Бір ден артық натурал сан, егер тек өзіне және бірге бөлінсе , ол жай сан деп аталады.
Натурал а – саны егер а: d, мұндағы 1<d<а, онда ол құрама сан деп. аталады. Жай сан алғашқы кестесін (Эротосфен елегі деп. аталатын) өзі жасаған әдіс пайдаланған. Ежелгі грек математигі Эротосфен құрастырған .
Бастапқы жай сан 2 болып табылады.
1.Теорема. Егер натурал сан бір ден артық болса, онда оның ең болмағанда бір жай бөлшігі болады.
2.Теорема. Құрама сан а –ның ең кіші жай бөгіші — нен асып кетпейді.
3.Теорема. Жай санндар жиыны шексіз.
Жай сандардың қасиеттері:
- Егер жай сан р, бір ден өзге қандай да бір натурал n санына бөлінсе, онда ол n — мен беттеседі
- Егер р мен q әртүрлі жай сандар болса, онда р саны q- ға бөлінбейді және керісінше болады.
- Егер натурал сан а-ны жай р санына бөлінбесе, онда а және р өзара жай сандар болады.
- Егер екі натурал сан а және в сандарының көбейтіндісі жэай р санына бөлінсе, онда олардың ең болмағанда біреуі р – ға бөлінеді.
Анықтама. Егер m саныа – санына және в – санына да еселік болса онда ол осы сандардыңортақ еселігі деп. аталады.
Анықтама. Берілген а және в сандарының ортақ еселіктерінің ең кішісін осы сандардың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп. атайды.
Анықтама. Егер а мен в сандары с санына бөлінсе, онда с – ны бұл сандардың ортақ бөлгіші деп. аталады.
Анықтама. Егер берілген а мен в сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп. атайды.
Теорема. Берілген Х саны құрама а= в с санына бөліну үшін, мұндағы
ЕУОБ (в,с) = 1 ол санның в – ға да және с – ға да бөлінуі қжетті және жткілікті болып табылады.
Анықтама. Егер а- ны в – ға қалдықпен бөлген кездеқалдық нөлге тең болса онда в саны а санының бөлшігі деп. аталады.
Бөлінгіштік қатынастың қасиеттері:
- 0 саны кез – келген натурал саға бөлінеді
- Нөлден өзге ешбір сан нөлге бөлінбейді
- Бөлгіштік қатынас – рефлексифті
- Егер в саны натурал сан а – ның бһөлгіші болып табылса, онда в саны а – Дан артық бола алмайды
- Бөлгіштік қатына антисимметриялы
- Бөлгіштік қатынас транзитивні
Теорема. Егер а мен в сандары бөлінсе және а>в болса, онда а-в айырымы да осы санға бөлінеді.