Сондықтан сандық теориялда натурал сан әуел бастан – ақ шектеулі жиын элементтерінің сан ретінде, яғни жалпы ұғым болып табылатын кез – келген жиынның қуаты ұғымының жеке жағдайы ретінде қабылданғанымен, натурал сандар арифметикасын бастапқы оқыту натурал сандар туралы алғашқы түсініктерді қалыптастырудың нақты жолдырын ескерменй кете алмайды.Сондықтан натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді. Санау прцесінде реттік натурал сандары пайдаланылады, ал жиыннның барлық элементтерін санп шыққан соң осы жиының сандық ситпаттамасын алады. Басқа сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін пайдаланады.
Анықтама. Егер а және в сандары тең қуаттас жиындармен анықталатын болса, онда олар тең болады: а=вА~В. Мұндағы n(А)=а, n(В)=b
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын сандар әртүрлі.
Анықтама. Егер А және В жиының меншікті ішкі жиынымен қуатта және n(А)=A, n(В)=b болса онда а санын b санынан кем деп айтады
Анықтама. Натурал қатардың Nа кесіндісі осы қатардың Nb кенсіндісінің меншікті ішкі жиыны болғанда, тек сонда ғана а саны bсанынан кем \ «b артық a »\ болады.
Теориялық – жиындық тұрғыдан «кем» қатынасына басқаша да анықтама беруге болады.
Анықтама. а+ с=b болатын с0 теріс емес бүтін сан болғанда тек сонда тғана а саны b санынан кем \ «b артық а»\ болады.
Анықтама. Теріс емес бүтін а мен b сандарының қосындысы деп n(А)=а, n(В)=b болғандағы қиылыспайтын А және В жиындары бірігуіндегі элемегнттердің санын айтады.
Теорема. Теріс емес бүтін а және b сандарының қосындысы қиылыспайтын А және В жиындарды таңдап алу ретінде тәуелді емес және ол әрқашан бар , әрі жалғыз болады.
Қосындының бар және жалғыз болуы шекті екі жиынның бірігу операциясының (амалының бар және жалғыз болуынан келіп шығады).
Жиындардың бірігу операциясыныңң (амалының) комутативті және асоциативті екендігіне теріс емес бүтін сандарды қосудың оларға ұқсас заңдары келіп шығады;
- Қосудың коммутитивтілігі
- Қосындының анықтамасы бойынша
- Жиындардың бірігу операциясының коммутативтілігі
- Қосудың ассоциативтілігі
Қосудың комутативтік және ассоциативтік заңдары қосылғыштардың кенз – келген саны үшін де орындалады.