БОПМ факультетінің кейбір студенттерінен тұратын X жиынының, Қазақстаннның бірнеше қалаларынан тұратын Yжиынын қарастырайық нақтырақ болу үшін:Х=Біржан, Ернар,Жанар, Зәрипа, Мәншүк, Ләззәт, Гүлнәз}, У= {Қарағанды,Теміртау, Семей, Ақтау, Шымкент, } делік. Осы екі жиынның декарттық көбейтіндісін элементтері (х ,у ) ,яғни “студент-қала” түріндегі барлық парлар элементтері болатиын Х х У{(x,y)/ xX,yY} ретінде болады. Осындай барлық парлардың жиынынан біз «студентті болғған қаласымен байланыстыратын» парларды теріа аламыз. Әрине, мұндай парларды \студент – қала\ «тізімі» декарттық көбейтіндіні ішкі жиыны болады, және онда тік бұрышты кестенің бағандарымен жолдарын ың элементтерін пайдаланып құруға болады.
Анықтама. Бос емес X жәнеY жиындары элементтерінің арасындағы \XxY мұндағы Z(XхY). Х – Р сәйкестіктің шығу облысы, У – Р сйкестіктің келу облысы.
Анықтама. Х жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір хХ лементінің жиынындағы\ бинарлық сәйкестіке (Р) де (X,Y,Z) жиындар үштігін айтады., бейнесі бір және тек бірғана уУ болатын Х және У жиындары арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқан да, кез – келген хХ үшін хРу болатын бір және тек бір ғана уУ табылады.
Жиындардың арасында өзара бір мәнді сәйкестік ұғымы эквиваленттік пен жиынның қуаты, жиындардың тең қуаттастығы сияқты ұғымдардытуғызады.
Анықтама. Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелену мүмкін болса, онда бұл жиындарды эквиваплентті жиындар деп атайды да Х~У түрінде белгілейді.
Анықтама. Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды теңқуаттас деп те атайды. Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз – ол жиын элементтерінің саны болып табылады да теріс емес бүтін санмен (Г.Контордың терминіі бойында кардинал санмен)өрнектеледі.
Анықтама. Хжиынындапғы R бинарлық қатынас дегеніміз жиындардың (Х,Z) пары,мұндағы ZXxX. Х жиынын R қатынастыңң берілу обылысы., ал Z жиынын R қатынастың графигі деп атайды.
Қатынастардың негізгі қасиеттері:
- Егер әрбір х элементті өзімен өзі R қатынаста бола алса онда Х жиынындағы R қатынасты рефлексифті деп аталады..
- Егер Х жиынының бірде бір элементі өзімен өзі R қатынаста бола алмаса, онда R қатынасы антирефлексифті деп аталады.
- Егер Х жиынының кез – келген х және у элементтері үшін хRу болатындығынан уRх болатындығы шығатын болса, онда R симметриялы деп аталады.
- Егер Х жиынының ешбір х және у элементтері үшін бір мезгілде хRу және уRх бола алмаса, онда R қатынасы асимметриялы деп аталады.
- Егер х=у болғанда, сонда және сондағана бір мезгілдехRу және уRх бола алса, онда R қатынасыантисимметриялы деп аталады.
- Егер Х жиынының кез – келген х,у,z элементтері үшін хRу және уRz болатындығынан хRz болатындығы шығатын болса, онда R қатынасы транзитивті деп аталады.
- Егер Х жиынының кез – келген әртүрлі екі элементінің ең болмағанда біреуі екіншісімен R қатынаста бола алса, онда Х жиыныныдағы R қатынасы байланды деп аталады.