Фильтрациялық консолидация теориясында әртекті топырақтардың шөгу процесіне бастапқы градиенттің әсері толық зерттелінбеген. Мысалы М.Ю.Абелевтің [1] жұмысында, бұл есептің шешімі біртекті топырақтар үшін, олардың қаңқаларының жылжи деформамиялануын есепке алмаған жағдайда зерттелінген. Қарастырылып отырған бұл жұмысты осы көтерілген мәселенің практикада жиі кездесетін есебінің бірі – жылжи деформацияланушы әртекті топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық есебін бастапқы градиент әсерінде шешу әдісі келтіріледі.
Есептің математикалық қойылымы.
Есептің математикалық қойылымы К. Терцаги – В.А. Флоин теориясына негізделген. Осы теорияға сәйкес, төмендегідей ұйғарайық:
- Топырақ қабаты екі компонентті ( топырақ қаңқасы және және сұйықтық) орта.
- Топырақ қаңқасы Г.Н. Масов –Н.Х. Арутюнянның жылжи деформациялану теориясының В.А. Флориннің интерпретациясын әртекті топырақтар үшін дамыту нәтижесінде келіп шыққан заңдылыққа [2,3]
(1)
(2)
(3)
бағынатын серпімді жылжи деформацияланушы кеуекті орта.
- Топырақ қабаты осы кеуектер көлемінің өзгеру салдарынан нығыздалады.
- Топырақ кеуегіндегі судың қозғалысы
(4)
заңдылықпен сипатталады. Мұнда бастапқы градиент.
- Қарастырылып отырған цилиндр түріндегі топырақ қабатының табан жазықтығы және бүйір беті су өткізбейді, үстіңгі бет жазықтығында су еркін сыртқа ығысып шығады.
Сонда топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық бастапқы – шеттік есебі мына түрде
(5)
(6)
(7)
математикалық өрнектелуі мүмкін. Бұл жерде — белгілі тұрақтылар және функциялар; және — фильтрация коэффициенттері.
Есепті шешу әдістері және есептің шешімі
Қойылған (5) – (7) есептің шешімі екі функцияның қосындысы
(8)
түрінде іздеп, функция үшін қосымша есепке
(9)
ал функция үшін негізгі есепке
(10)
(11)
(12)
ие боламыз.
Қосымша (9) – есепті шешуге өтейік. (9)-дағы теңдеуге (13) қойып
(14)
теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі келесі түрге ие
(15)
Енді (13)-ті ескерсек :
(16)
тұрақты ні (9) –дағы екінші шарттан табамыз: .
тұрақты ні (16) –ға қойсақ : Бұл жерден:
тұрақты ті шартынан табамыз. Сонда
Бұл табылғанды алдыңғы өрнекке қойсақ, қосымша есептің шешімін аламыз.
(17)
Негізгі (10)-(12) –ші есепті шешу үшін математикалық физика теңдеулерінің белгілі әдістерінің бірі – меншікті функциялар бойынша жіктеу әдісі н қолданамыз. Нәтижеде бұл негізгі есептің шешімін мына түрде табамыз:
(18)
Бұл жерде
(19)
гипергеометриялық типтегі теңдеуге
деп
түрлендіру енгізуден келіпшыққан канондық түрдегі гипергеометриялық типтегі теңдеудің
бастапқы (11)-ші шартты қанағаттандырушы шешімі; — шеттік шарт (12)-нің соңғы үшіншісін қанағаттандырушы Бессель теңдеуінің
шешімі;функция мына теңдеуге
жаңа айнымалылар және енгізуден келіп шыққан Бессель теңдеуінің
шеттік шарт (12)-нің бастапқы екеуін қанағаттандыратын шешімі;
теңдеуінің шешімі; мына теңдеудің
шешімі; және индексті бірінші және екінші текті Бессель функциялары.
Негізгі есептің шешімі (18)-ді және қосымша есептің шешімі (17)-ні (8)-ге қойсақ (5)-(7) бастапқы шеттік есептің шешімін табамыз:
(20)
Бұл жерде ұмтылғанда, шешімге бастапқы градиенттің әсері елеусіз болатындығын байқаймыз. Сондай-ақ (20) шешімнен дербес жағдайда М.Н. Абелевтің [1] шешімін алу қиын емес.
Әдебиеттер
- Цытович Н.А., Зарецкий Ю.Н., Малышев М.К., Абелев М.Ю., Тер-Мартиросян З.Б. Прогноз скорости осадок оснований сооружений –М.: Изд. Лит. По строительству, 1967, 237с.
- Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов, решаемых в вырожденных гипергеометрических и тригонометрических функциях Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №5. –С. 47-52.
- Ширининкулов Т.Ш., Дасибеков А., Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №2. –С. 34-38.