- Мынандай, х1,х2, х3,… ,хn кез келген нақты сандары үшін
≥(1)
теңсіздігі орындалады
Дәлелдеу.
Алдымен
(x1-x2)2 ≥0
(x1-x3)2 ≥0
…………
(x1-xn)2 ≥0
(x2-x3)2 ≥0
(x2-x4)2 ≥0
…………
(xn-1-xn)2 ≥0
теңсіздігінің орынды екенін біле отырып,
x12+ x22 ≥2 x1x2
x1 2 + x3 2 ≥ 2x1 x3
……………………
x1 2 + xn2 ≥ 2x1xn
x2 2 + x32 ≥ 2x2 x3
x22 + x42 ≥ 2x2x4
………… …………
x 2n-1 +xn 2 ≥ 2x n-1xn
теңсіздіктерінің оң және сол жақ бөліктерін сәйкесінше мүшелеп қосатын болсақ
(n-1)( x12 + x22 + x3 2 + x42 + x 2n-1 + xn 2) ≥
≥ 2(x1x2 + x1 x3 +…+ x1xn + x2 x3 + x2x4 +…+ x n-1xn )(3)
қосындысы келіп шығады.
(3) теңсіздікті қысқаша көріністе
(n-1)≥
немесе (1) теңсіздігініңкеліп шығатынын айқын байқауға болады.
Егер , теңсіздігін дәлелдеу керек болса,
дәлелденген тұжырымнанn=3 болғанда теңсіздігінің дұрыс болатынын көреміз.
- Егер, теңсіздігі орындалса
(1)
теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеу.
Алдымен
және(1)
теңдіктері орынды екенін айта кетейік.
Жоғарыдағы теңсіздікті дәлелдеу үшін
>0 екенін дәлелдесек жеткілікті.
Ол үшін (2) аустыруларды пайдалансақ,
=
=.
Соңғы бөлшектің алымы шарт орындалғанда жоғарыдағы тұжырымның дәлелі екенін байқаймыз.