Айталық,α- (1,2] интервалында алынған кез келген нақты сан. (0,Т), интервалында (Т< ∞)дифференциалданатын φ(t) функция үшін келесі өрнек Капуто мағынасындағы бөлшекті дифференциалданатын оператор деп аталады [6,7].
(1)
Мұндағы I α — Риман –Лиувилл [1] мағынасындағы бөлшек реттіинтегралдық оператор.
Мына көріністегі дифференциал теңдеуді қарастырамыз.
.(2)
Егер α=2 болса , онда және (2) теңдеуден
толқын теңдеуінің өзі келіп шығады [7].
Ω={(x,t): 0<x<1,0<t<T} облыста (1) теңдеуі үшін келесі есепті қарастырамыз.
А Есебі: Ω облысында (2) теңдеуінің
, (3)
, (4)
, (5)
шарттарды қанағаттандыратын шешімін табаңыз.
, болған Ω облысында (2) теңдеуді және (3)-(5) шарттарды қанағаттандыратын функциясы А есептің регуляр шешімі деп аталады.
Келесі теорема орынды.
Т е о р е м а 1. А есебінің шешімі бар болса, ол жалғыз .
Д ә л е л д е у. функциясы (2) теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің () Ω облысындағы (3)-(5) шарттарды қанағааттандыратын шешімі болсын. Келесі белгілеуді енгіземіз
(6)
Бұл жерде
(7)
функциялар жүйесікеңістігінде толық ортонормал жүйе.
операторымен (6) теңдеуге әсер етіп, (2) формуланы есепке алып келесі теңдікті аламыз.
Теңдеудің оң жағын бөліктеп интегралдау әдісімен интегралдап және (5) шартты пайдаланып, келесі теңдікті аламыз.
(8)
Бұндай жағдайда функцияны анықтау үшін (8) түрдегі бөлшек ретті дифференциалдық теңдеуді алдық. [4] жұмысқа ұқсас (2) формуланы есепке алып бұл теңдеудің шешімін
(9)
түрде болатындығын көрсетуге болады.
Бұл жерде- белгілі Миттаг – Леффлер функциясы, келесі қатармен анықталады.
t=0 болғанда (9)-ден ке тең болады. Тағы бір жағынан t=0 болғанда (6) –ға қолданып, тең екендігі шығады. Дәл осылай . Онда (9) дан болады.
Демек,
. болғанда. (7)-ші функциялар жүйесі толық екендігінен екендігі шығады.
Теорема дәлелденді.
[4] жұмысқа ұқсас А есебінің шешімінің бар екендігі туралы келесі теореманы дәлелдеуге болады.
Т е о р е м а 2. болса, ал х бойынша кесіндісінде көрсеткішімен бойынша бірқалыпты Гельдер шартын қанағаттандыратын және және болсын. Онда А есебі регуляр шешімі бар болады.
Ә д е б и е т т е р
- Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложение. Минск, Наука и техника. 1987. –688 с.
- Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. –М., 1966. –672 с.
- Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва, Наука. 2005. – 199 с.
- Кадиркулов Б.Ж., Турметов Б.Х. Об одном обобщении уравнении теплопроводности. // Uzbek Mathematical Journal. 2006. №3. рр. 40-45.
- Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно – волнового уравнения с частной производной. //Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 5. –С. 599-609.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.
- Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи. //Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 8. –С. 1094-1100.