Бірінші ретті ауытқымалы аргументті дифференциалдық теңдеулердің спектралдық мәселелері алғаш [1-3] жұмыстарда қарастырылған. Бұл жұмыстарда Рисс бойынша базистілігі және меншікті векторлар жүйесінің толықтығы, спектрдің шектілігі, шексіздігі зерттелген.
Бізге келесі жалпыланған ауытқымалы аргументті спектралдық есеп берілсін
мұнда комплекс параметр, комплексті тұрақтылар, ал шексіз аз шама. (1) теңдеудің нетривиаль шешімдеріне сәйкес келетін параметрдің мәндерін табуымыз керек.
(1) есептегі шексіз аз шаманың нөлге тең болғандағы мәні айрықша нүкте болып, бұл кезде жалпы дифференциалдық теңдеулер теориясындағы шешімнің бар болуы туралы классикалық теорема орынды болмайды. Сондықтан сингуляр қобалжулы есептерді шешкенде мәнінің аймағы елеулі ерекше сингулярлыққа ие болады. Біз бұл жерде топологиялық және алгебралық көпбейнеліктерді емес жәй ғана күрделі структуралы сызығының маңайындағы бетті назарға аламыз (беті жайлы айтамыз). Қажетті анықтамаларды енгізейік. функциясы қандайда бір облыста аналитикалық болсын, мұнда оң сандар.
Анықтама. беті сызығының маңайында елеулі ерекше сингулярлы деп атаймыз, егер жиынындағы барлық фиксирленген х-тер үшін нүктесі үшін елеулі ерекше болса.
аналитикалық функциясымен функциясы ерекше сингулярлыққа қарапайым мысал болады.
(1) есептің шешімін асимптотик қатарға жіктеу арқылы табуға болады. Бірақ біздің мақсатымыз есептің спектралдық қасиеттерін зерттеу болғандығынан, оның асимптотикалық қасиеттерін зерттеуді кейінге қалдырамыз. болғанда және алғашқы шарт болады, бұл жерде тұрақты сан, (1) есептің шешімі асимптотикалық теория негізінде толық зерттелген және асимптотикалық шешімі құрылған [4-6].
- Есепті толық түсіну үшін дербес жағдайын қарастырайық. Бұл шарттарда (1) есептің шекаралық шарты көрінісіне келеді және сәйкесінше (1) шекаралық есеп Кошидің есебіне келтіріледі:
(1.1)
Есептің нетривиаль шешімдерін табу үшін (2)-ні айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз және келесі Штурм-Лиувилль есебіне ұқсас шекаралық есепке ие боламыз:
Жоғарыда көрсетілгендей (1.1) есеп келесі спектралдық есепке келтіріледі:
(1.2)
Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер теориясына сәйкес (1.2) есептегі дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі келесі функция болады:
мұнда кез келген тұрақтылар. және тұрақтыларын табу үшін шекаралық шарттардан пайдаланамыз. Бірінші шекаралық шарттан пайдалансақ мынаны табамыз
Бұдан меншікті функция бұл жағдайда келесі көрініске келеді
Бұл өрнекті дифференциалдап және екінші шекаралық шарттан пайдалансақ, төмендегіні аламыз:
(1.3)
Егер (1.3)-тен деп есептесек, онда үшінші шекаралық шарттан келіп шығады. Коши есебінің шешімінің жалғыздығы туралы теоремадан тривиаль шешімге ие боламыз. Бұдан мәні меншікті мән болмайды. Онда теңдік тек болғанда ғана орындалады. Бұл жерден . Табылған мәнінен және (1.3) есептің үшінші шекаралық шартынан пайдалансақ келесі өрнекке ие боламыз:
бұл өрнек келесі теңдеулер жүйесін шешуге алып келеді
Бұл жүйеден меншікті мәндеріне ие боламыз. Ал меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар мыналар:
мұнда кез келген коэффициенттер.
коэффициенттерін меншікті функцияларды нормалау арқылы табамыз:
Соңғы теңдіктен болады.
Онда (1.2) есептің меншікті мәндері мен меншікті функциялары төмендегі формулалармен беріледі:
Осылайша біздің тарапымыздан келесі теорема дәлелденді.
Теорема. (1.1) есеп шексіз көп (шекті) меншікті мәндер жиынына ие болады.
- Енді дербес жағдайын қарастырайық. Бұл шарттарда (1) есептің шекаралық шарты көрінісіне келеді және сәйкесінше (1) шекаралық есеп Кошидің есебіне келтіріледі:
(2.1)
Есептің нетривиаль шешімдерін табу үшін (2.1) – ді айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз және келесі Штурм-Лиувилль есебіне ұқсас шекаралық есепке ие боламыз:
Жоғарыда көрсетілгендей (2.1) есеп келесі спектралдық есепке келтіріледі:
(2.2)
Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер теориясына сәйкес (2.2) есептегі дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі келесі функция болады:
мұнда кез келген тұрақтылар. және тұрақтыларын табу үшін шекаралық шарттардан пайдаланамыз. Екінші шекаралық шарттан пайдалансақ мынаны табамыз
Бұл өрнекті дифференциалдап және екінші шекаралық шарттан пайдалансақ, төмендегіні аламыз:
Бірінші шекаралық шарттан пайдалансақ, төмендегіні аламыз:
(2.2) есептің меншікті мәндерін табу үшін, келесі теңдеулер жүйесін шешуіміз керек
Бұл жүйеден меншікті мәндеріне ие боламыз. Ал меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар мыналар:
мұнда кез келген коэффициенттер.
коэффициенттерін меншікті функцияларды нормалау арқылы табамыз:
Онда.
Осылайша (2.2) есептің меншікті мәндері мен меншікті функциялары төмендегі формулалармен беріледі:
Теорема дәлелденді.
Осылайша біздің тарапымыздан келесі теорема дәлелденді.
Теорема. (2.1) есеп шексіз көп (шекті) меншікті мәндер жиынына ие болады.
Әдебиеттер
Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш. О структуре спектра краевой задачи Штурма-Лиувилле на конечном отрезке времени // Известия АН РК, серия физ.-мат., 2000 №3, С. 29-34.
Ибраймкулов А.М. О спектральных свойствах краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом // Известия АН Каз. ССР, серия физ.-мат., 1988, №3, С. 22-25.
Ахметова С.Т., Шалданбаев А.Ш. О полноте собственных векторов задачи Коши// Наука и образование ЮК, Шымкент, №27, 2002, С. 58-62.
Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.-М.: Наука, 1973. –272 с.
Lomov S.A. Introduction to the General Theory of singular Perturbation // Translations of Mathematical Monographs. Volume 1126 American Mathematical Society. 1992.