- Гармониялық осциллятор тендеуінің дербес шешімі -қасиеті жағынан басқа шешімдеріне қарағанда ерекше болатын жағдайын қарастырайық. Егерде x0 = 0, х1 = 0 онда (2.6) формуладан мынадай арақатыс аламыз
Осыдан a = 0, ендеше (2.3) тендеудің шешімі нольге тең болады. Сөйтіп физикасы қызық жағдай алдық. Маятник бастапқы вертикаль жағдайында тұрып, өзгеріссіз бұрынғы күйін сақтайды. Математикалық көз-қараспен талдасақ, уақытқа байланысты өзгермейтін динамикалық жүйенің күйі тепе-теңдік қалпы делінеді. Динамикалық жүйеге сапалы зерттеу жүргізгенде, мүмкін болатын тепе-тендік қалпын білу қажет, егерде жүйе уақытқа байланысты өзінің белгілі бір күйінен шықса, онда соңғы жағдайы үшін жүйенің тепе-тендік күйі орындалады.
- Жүйенің тепе-тендік қалпын анықтау үшін, маятниктің бұрыштық жылдамдығын u — деп, екінші ретті тендеуге (2.3) эквивалентті болатын, бірінші
ретті екі дифференциалдық жүйеге келтіріп мынадай түрде жазайықМаятниктің алып тұрған орны және жылдамдығы уақытқа байланысты өзгермейді, егерде олардың туындылары нөлге тең болса. Осыдан, келтірілген тендеудің оң жағы нөлге айналып, маятниктің тепе-теңдік қалпын табуға мүмкіндік береді.
Жүйенің бірден-бір ғана тепе-теңдік қалпы болады -деген тұжырым дұрыс емес. Мысалы, маятниктің үлкен тербеліс теңдеуін (2.2) мынадай түрге келтірсек
Осы тендеудін оң жағын нөлге теңестіріп, шамалардың х =kp Осыдан кез келген k-бүтін санға, тепе-теңдік қалып сәйкес келеді. Осы алынған нәтижеге қарап, сызықты емес жүйеге анализ жасағанда, күрделі қиындықтар туып күтпеген нәтижелер алуға болатынын көруге болады.
Жүйенің тепе-теңдік қалпы өзінің қасиетіне байланысты бір-бірінен айырмашылығы болуы мүмкін. Тепе-тендік қалпы асимптотикалык, орнықты болғанда, жүйенің осы орнықты жағдайынан аз ауытқуы осы күйіне қайта келуімен анықталады. Мысалы, маятниктің тербелісіне үйкеліс күш әсер етсе, тепе-тендік қалпы нөлдік күйде болады. Тербелмелі жүйенің тепе-тендік қалпы орнықты емес жағдайды қарастырайық. Егер де маятник тербелісі сызықты емес болса, онда бастапқы нольдік жылдамдықта маятниктің тепе-теңдік қалпы вертикаль жағдайына сәйкес келеді. Ал, жүйе күйінің бастапқы қалпынан аз өзгерісі, тепе-теңдік қалпынан шығарып орнықты емес жағдайға әкеледі. Екіншіден, маятник тербелісінің вертикаль жағдайдан аз ауытқуын алсақ немесе бастапқы жылдамдығы нөлге тең болмаса, онда маятник тепе-тендік қалпының айналасында тербелісте болады да, тепе-тендік күйіне келмейді, өйткені, асимптотикалық орнықтылығы жоқ. Ал, маятниктің тербелісі өзінің тепе-теңдік қалпынан алшақ кетпей, маңайында өзгермей қалса. Маятниктің мұндай тепе-тендік қалпы Ляпунов бойынша орнықты жағдайға жатады.