Математикада белгілі болған төмендегі шамалар арасындағы байланыстарды айқындайтын, классикалық теңсізіктер деп аталатын теңсіздіктер туралы және оларды кейбір есептерді шешуде қолдануға арналған мысалдарды қарастырамыз .
оң сандар үшін төмендегі шамалар
орта гормоникалық, геометриялық орта, арифметикалық орта, орташа квадраттық шамалар деп аталады. Бұл шамалар өзара келесі теңсіздіктер арқылы байланысқа ие:
(1)
болғанда, тек сонда ғана, (1) – ші теңсіздік белгісі “=” ке айналады.
(1) теңсіздіктер классикалық теңсіздіктер делінеді.
(1) теңсіздіктердің бірнеше көріністегі дәлелдемелері бар. Бұл туралы [1-3] әдебиеттерден мәлімет алуға болады.
теңсіздікте ны ға ауыстырамыз, ге келу мүмкін.
теңсіздіктің екі жағын квадратқа шығарсақ және теңсіздіктерді бірнеше рет қолданып, теңсіздіктің дұрыс екендігіне көз жеткізу мүмкін.
теңсіздікке қарағанда жалпыланған көріністегі теңсіздіктің қарапайым дәлелі мектеп геометрия курсында белгілі түсініктерге негізделген: координаталары оң сандардан тұратын және векторларды қарастырайық:
. Бұл векторлардың арасындағы бұрышты арқылы белгілесек, онда олардың скаляр көбейтіндісінен:
екендігі келіп шығады.
Мұндағы және векторлардың скаляр көбейтіндісі;
— векторлардың ұзындықтары.
екендігінен , яғни
(2)
(2) теңсіздік Коши теңсіздігі.
болса, (2) дан ті аламыз.
Келесіде теңсіздіктің және бір дәлелін келтіреміз.
Теорема: Кез-келген үшін
(3)
теңсіздік орынды.
Дәлелдеуі: функцияны енгіземіз және оны экстремумға зерттейміз.
; де сонымен бірге болса, болса, болады, яғни функцияның минимум нүктесі, бұдан болғаны үшін және
(3) де орнына ді қойып,
(4)
теңсіздікті аламыз. Дәл осы (4) теңсіздіктен теңсіздікті, соңынан оданда жалпылау көріністегі теңсіздіктерді шығаруға болады. Шынында да, үшін (4) теңсіздіктен
(5)
теңсіздігін аламыз.
және оң сандар болсын.
делік. (5) теңсіздіктегі орнына, біртіндеп, сандарын, х-тің орнына біртіндеп сандарын қойып, келесі теңсіздіктерге ие боламыз:Теңсіздіктердің сол және оң жақтарын жеке-жеке өзара көбейтіп, мына
теңсіздікке келеміз. Бұдан
(6)
мына теңсіздігі келіп шығады. болғанда (6) дан
(7)
қатынастарды аламыз.
(7) дедесек, одан теңсіздік келіп шығады.
Классикалық теңсіздіктер физикада, механикада, геометрияда өте көп қолданылады. Мысал ретінде табандары және болған трапецияда ұзындықтары ға тең болған кесінділер арасындағы қатынасты көрсету мүмкін.
1 – cызба2 – cызба
1- есеп. Төмендегілерді дәлелдеңдер:
1). ABCD трапецияның диагоналдары қиылысқан нүктеден табанына параллел болатындай етіп салынған EF кесіндінің ұзындығы ге тең (1- сызба).
2). ABCD трапецияны екі ұқсас трапецияға ажырататын және табанына параллель MN кесіндінің ұзындығы ге тең (2 — сызба).
3). ABCD трапецияның орталарын қосатын кесіндінің ұзындығы ге тең (трапецияның орта сызығы)(3 — сызба).
4). ABCD трапецияны екі тең трапецияға ажырататын және табанына параллель кесіндінің ұзындығы ге тең (4- сызба).
3 – cызба4 – cызба
(1) теңсіздік бойынша, трапецияда EF, MN, , кесінділер
түрінде орналастырылады.
Егер болса, бұл кесінділер бетпе – бет түседі (трапеция дұрыс төртбұрышқа өтеді).
2 –есеп. Көлемі ең үлкен болатын дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы S – ке тең. Табан қабырғасының пирамида биіктігіне қатынасын табыңыз.
Шешуі: Есептің шартына сәйкес 5 – ші сызбаны сызамыз.
Берілгені:Табу керек:
— дұрыс
төртбұрышты
пирамида
5-сызба
Енді дейік. Олай болса , бұдан дан Пифагор теоремасына сәйкес, Онда Сонымен бірге, ; және
Экстремалдық есептерді шешуде математикалық анализ курсынан белгілі болған келесі теореманы қолдануға болады:
Теорема. Егер функцияның берілген аралықтағы мәндері теріс емес(оң немесе нольге тең) болса, онда және функциялар (мұндағы натурал сан) ең үлкен (ең кіші) мәнін бір нүктеде қабылдайды.
Осы теорема бойынша функциялар қандай бір нүктеде экстремум мәнді алады.
Бірақ
демек, теңдік белгісі болғанда орындалады.
Сонымен ең үлкен көлем ға тең болады екен, ал биіктіктің мәні:
Олай болса, .Жауабы: .