Определение токов во всех ветвях цепи методом узловых потенциалов

электротехнике есть наука о техническом (т. е. практическом, прикладном) использовании электрических и магнитных явлений; часто это же наименование дают и соответствующей отрасли техники. Большое значение электротехники для современной промышленно­сти и быта объясняется тем, что средствами электротехники эффектив­но и относительно просто получают и передают электроэнергию (электроэнергетика), преобразуют ее в другие формы энергии — ме­ханическую (электрификация механических процессов), тепловую, химическую, световую (электрификация технологических процессов), а также решают вопросы передачи и преобразования сигналов и информации (электротехника связи). Исключительные перспективы развития электротехники были оце­нены основоположниками марксизма у колыбели этой новой тогда отрасли техники. В 1850 г. К. Маркс, обращаясь к В. Либкнехту, отмечал: «…царствование его величества пара, перевернувшего мир в прошлом столетии, кончилось; на его место станет неизмеримо более революционная сила — электрическая искра. Необходимым след­ствием экономической / революции будет революция политическая, так как вторая является лишь выражением первой». В. И. Ленин еще задолго до Великой Октябрьской социалистической революции в своих работах многократно возвращался, к перспективам электрификации при социализме.

Электрификацией принято называть широкое использование элек­трической энергии в промышленности и в быту.

Характерной особенностью развития электроэнергетики на совре­менном этапе является увеличение мощности отдельных тепловых электростанций до 4—6 млн. кВт с применением турбогенераторов

мощностью 1—1,5 млн. кВт, а также опережающее развитие атомной энергетики, особенно в европейской части СССР, с применением реакторов единичной мощности 1—1,5 млн. кВт.

Относительное уменьшение роли гидроэлектрических станций объясняется тем, что при их строительстве каждый киловатт установ­ленной мощности обходится дороже, чем на равной по мощности тепловой электростанции. Кроме того, для строительства гидроэлектро­станций требуется больше времени.

Для централизации снабжения народного хозяйства электроэнергией электростанции объединяются в энергетические системы, охватывающие огромные регионы. В настоящее время линии высокого. Энергетическое — объединение «Мир» соединяет электростанции Польши, Чехословакии, ГДР, Вен­грии, Румынии, Болгарии и Львовэнерго, Украинской ССР. Такие объединения дают возможность распределять нагрузку между стан­циями наиболее целесообразно.

Успешное решение электроэнергетических задач позволяет осу­ществить комплексную электрификацию всего народного хозяйства. В настоящее время практически завершилась электрификация сило­вого оборудования промышленности. К началу 11-й пятилетки мощ­ность электрооборудования в промышленности составляла примерно 85 % общей мощности установленного оборудования. В сельском хозяйстве в 1980 г. было израсходовано около 100 млрд. кВт-ч элек­троэнергии. Широким фронтом ведется электрификация железнодо­рожного транспорта. В настоящее время протяженность железных дорог, на которых используется электровозная тяга, составляет более трети их общей протяженности.

На повестку дня выдвигается задача широкой электрификации технологических процессов, в которых электрическая энергия не посредственно участвует в обработке предмета труда: электросепара­ция, электросмешивание, электрические методы извлечения металлов из руд и т.д. Электрификация технологических процессов позволяет, во многих случаях упростить многооперационные неэлектрифицированные технологические процессы создает благоприятные условия для автоматизации производства. Однако сдерживающим фактором на пути электрификации технологических процессов является их энерго­емкость. Следовательно, внедрение прогрессивных технологических: процессов требует развития электроэнергетики.

Электрическая энергия нужна не только для совершенствования технологических процессов, но и для получения и преобразования информации 6 процессах. Последнее служит основой разнообразных автоматизированных систем управления технологическими процесса­ми (АСУ ТП). Благодаря успехам приборостроения в современных АСУТП для преобразования информации широко применяются управ­ляющие электронные вычислительные машины.

Постоянно растет расход электрической энергии для электрифи­кации быта и сферы услуг.

Для разрешения противоречия между потребностями народного хозяйства в дешевой электроэнергии и возможностями традиционных способов получения электроэнергии на тепловых и гидравлических электростанциях необходимы коренные изменения принципов ее получения. Известный шаг в этом направлении позволяют сделать атомные электростанции. В перспективе можно ожидать положительных результатов производства электроэнергии на базе МГД-генератора и управляемого термоядерного синтеза.

Даже из приведенного краткого обзора видно, какой большой путь прошла наша страна, осуществляя ленинские идеи электрифика­ции, и какие грандиозные задачи выдвигают перспективы ее дальней­шего развития.

Электрическая цепь

Дано: Е₁ = 40 В; Е₂ = 30 В;

R₀₁ = 0,8 Oм; R₀₂ = 1,2 Ом;

R₁ = R₂ = 30 Oм; R₃ = 10 Oм;

R₄ = 18 Ом; R₅ = 120 Ом.

Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов всех в ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

В электрической схеме потенциал одного из узлов принят равным нулю, т.е. = 0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

1. 1. Определим токи методом узловых потенциалов.

Примем φ_С = 0.

φ_A (g₁+g₂+g₄₀₁ ) — φg₁ – φ_Bg₁ = E₁g₄₀₁;

-φ_Ag₁ + φ_B (g₁+g₃+g₅₀₂) – φ_cg₄ = E₂g₄₀₁;

Обратим

R₄₀₁ = R + r₀₁ =18+0,8 = 18,8Ом.

R₅₀₂ = R₅ + r₀₂ =120+1,2 = 121,2Ом

Расчет проводимости ветвей:

g₁=g₂=1/R₁=1/30= 3,33 * 10^-2 Cм;

g₃=1/R₃=1/10=10*10^-2 Cм;

g₄₀₁=1/R₄₀₁=1/18,8=5,32*10^-2 Cм;

g₅₀₂=1/R₅₀₂=1/121,2=0,825*10^-2 Cм;

g₁+g₂+g₄₀₁=(3.33+3.33+5.32)*10^-2=11.98 *10^-2См;

g₁+g₃+g₅₀₂=(3.33+10+0.825)*10^-2=14.155 *10^-2См;

E₁g₄₀₁=40*5.32*10^-2A;

E₂g₅₀₂=30*0.825*10^-2A=24.75*10^-2A

Подставим найденное в (1), и сократим оба уравнения на 10^-2

 φ_A *11.98 — φ_B*3.33 = 212,8;

 -φ_A *3.33 + φ_B*14.155 = 24,75;

11.98   -3.33

∆ =                             = 158.488;

-3.33      14,155

212.8   -3.33

∆_А =                               = 3094.68;

24.75  14,155

11.98   212.8

∆_В =                             = 1005.77;

-3.33   24.75

Вычисляем потенциалы узлов: φ_С = 0.

φ_A = ∆_А / ∆ = 3094,68 / 158,488 = 19,53 В;

φ_B = ∆_В / ∆ = 1005.77 / 158,488 = 6.346 В;

Токи в ветвях определяем по закону Ома.

I­₁ = (φ_С— φ_А +E₁) g₄₀₁ = (-19,53 +40)*5,32*10^-2= 1.09A;

I­₂ = (φ_С— φ_В +E₂) g₅₀₁ = (-6,346 +30)*0,825*10^-2= 0.195A;

I­_АВ = (φ_В— φ_А ) g₁ = (6,346 – 19,53)*3,33*10^-2= -0.439A;

I­_АС = (φ_А— φ_С ) g₂ = 19,53*3,33*10^-2= 0.65A;

I­_ВС = (φ_В— φ_С ) g₃ = 6,346 *0,1= 0.635A;

Правильность расчёта токов проверим по балансу мощностей.

Составим баланс мощностей.

Мощность источников:

P_ист=E₁I₁+E₂I₂= 40*1.09+30*0,195 = 49,45 Вт

Мощность приёмников:

P_пр=I₁²R₄₀₁+ I₂²R₅₀₂+ I_ВС² R₃+ I_АВ² R₁+ I_АС² R₂=1,09² * 18,8 + +0,195² *121,2 +0,635² *10 +0,439² *30+0,65² *30= 49,43 Вт.

Баланс мощностей соблюдается, т.е.  P_ист. = P_пр. , следовательно, токи рассчитаны верно.

Запишем (1) в матричной форме.

 φ­_А  11.98 -3.33        212,8

 φ_В  -0.5     -14.155          24,75

Определим токи в ветвях методом наложения

Рассчитаем частичные токи в ветвях от ЭДС Е₁.

Для этого рассчитаем схему рис. 1.

I₁₁, I₂₂, I₃₃ – контурные токи.

Составим уравнения по М

 I₁₁(R₄₀₁+R₂) — I₂₂ R₂ — I₃₃ *0= E₁;

 -I₁₁* R₂ + I₂₂ (R₁+R₂ +R₃) — I₃₃ R₃=0;

-I₁₁*0- I₂₂ *R₃ — I₃₃ (R₃₃ +R₅₀₂)=0;

R₄₀₁+R₂=18,8+30=48,8 Ом;

R₁+R₂ +R₃=30+30+10=70 Ом;

R₃+R₅₀₂=10+121,2=131,2 Ом;

I₁₁*48,8 – I₂₂*30 – I₃₃*0 =40;       I₁₁*4,88 – I₂₂*3 – I₃₃*0 =4

-I₁₁*30 + I₂₂*70 – I₃₃*10 = 0;       -I₁₁*3 + I₂₂*7 – I₃₃*1= 0;

-I₁₁*0 – I₂₂*10 + I₃₃*131,2 =0;   -I₁₁*0+I₂₂*1–I₃₃*13,12= 0;

4,88  -3 0

∆ =  -3   7  -1= 325,2192;

0   -1  13,12

4  -3 0

∆₁₁ = 0   7  -1        = 363,36;

0     -1 13,12

4,88 4  0

 ∆₂₂ =  -3  0  -1        = 157,44;

0  0  13,12

4,88  -3  4

 ∆₃₃ =  -3   7 0    = 12;

0   -1 0

Рассчитаем контурные токи:

I₁₁= ∆₁₁/∆= 363,36/325,2192= 1,117 A;

I₂₂= ∆₂₂/∆= 157,44/325,2192= 0,484 A;

I₃₃= ∆₃₃/∆= 12/325,2192= 0,037 A;

По найденным контурным токам определим  токи в ветвях:

I^‘₁=I₁₁= 1,117 A;

I^‘₂=I₃₃=0,037 A;

I^‘_АВ=I₂₂= 0,484 A;

I^‘_АС =I₁₁ –I₂₂=1.117-0,484=0,633 A;

I^‘_ВС= I₂₂ -I₃₃ = 0,484-0,037=0,447 А.

Рассчитаем частичные токи в ветвях от ЭДС Е₂.

Для этого рассчитаем схему рис. 2.

Частичные токи в ветвях определим по МКТ.

I₁₁(R₅₀₁+R₃) — I₂₂ R₃ — I₃₃ *0= E₂;

-I₁₁* R₃ + I₂₂ (R₁+R₂ +R₃) — I₃₃ R₃=0;

-I₁₁*0- I₂₂ *R₂ + I₃₃ (R₄₀₁ +R₂)=0;

I₁₁*131,2 — I₂₂ *10 — I₃₃ *0= 30;      I₁₁*13,12 — I₂₂ *1 — I₃₃ *0= 3;

-I₁₁*10 + I₂₂ * 70- I₃₃ * 30=0;        -I₁₁*1 + I₂₂ * 7- I₃₃ * 3=0;

-I₁₁*0- I₂₂ *30 + I₃₃ *48,8=0;      -I₁₁*0- I₂₂ *3 + I₃₃ *4,88=0;

13,12 -1  0  3 -1 0

 ∆ = -1  7 -3  =325,2192;  ∆₁₁=  0 7 -3 =75,48;

0  -3  4,88                                0 -3 4,88

13,12 3   0                                  13,12 -1 3

 ∆₂₂ = -1  0 -3  =14,64;        ∆₃₃=  -1      7 0 =9;

0  0  4,88                                 0       -3 0

I₁₁= ∆₁₁/∆= 75,48/325,2192= 0,232 A;

I₂₂= ∆₂₂/∆= 14,64/325,2192= 0,045 A;

I₃₃= ∆₃₃/∆= 9/325,2192= 0,028 A;

Частичные токи в ветвях:

I^»₁=I₃₃= 0,028 A;

I^»₂=I₂₂=0,232 A;

I^»_АВ=I₂₂= 0,045 A;

I^»_АС =I₂₂ – I₃₃=0,045-0,028=0,017 A;

I^»_ВС= I₁₁ – I₂₂ = 0,232 — 0,045=0,187 А.

Сделаем наложение решений и получим действительные в ветвях.

I₁= I^‘₁— I^»₁= 1,117-0,028=1,09 A;

I₂= I^»₂— I^»₂= 0,232-0,037=1,09 A;

I_АВ= I^»_АВ— I^‘_АВ =0,045-0,484=-0,439 A;

I^»_АС = I^‘_АС— I^»_АС =0,633+0,017=0,65 A;

I^»_ВС= I^‘_ВС— I^»_ВС = 0,447 + 0,187=0,634 А.

Как видим метод наложения показал одинаковые результаты с методом узловых потенциалов.

Дадим схему активного двухполюсника по отклонению

к R₁

Рассчитаем R_вх и U_BA методом эквивалентного генератора

В схеме активного двухполюсника (эквивалентного

генератора) Е_эг = U_BA = U_хх   , а U_эг = R_вх  , где

U_хх и  R_вх — напряжение холостого хода и входное сопротивление относительно зажимов В-А выделенной (разомкнутой) ветви с R₁.

Определим U_хх.

U_хх= I^*_ВС * R — I^*_AС * R₂

Определим I^*_AС и I^*_ВС

I^*_AС=E₁/R₄₀₁+R₂ = 40/48.8=0.82 A;

I^*_BС=E₂/R₅₀₂+R₃ = 30/131.2=0.23 A; Подставим найденные токи в (2).

U_хх= U_ВА= Е_эг=0,23*10-0,82*30=-22,3 В.

Определим R_вх = R_эг.R₇ = R₃ *R₅₀₂/ R₃+R₅₀₂=10*121,2/10+121,2=9,238 Ом.

R_вх = R₆ +R₇=11,56+9,238=20,798 Ом.

Согласно метода эквивалентного генератора из схемы рис. 1

I_AB= E_эг/ R_эг+R₁=-22,3 / 20,798+30= — 0,439 А.

Результат полностью совпал с теми, что мы имели в методе узловых потенциалов и методе наложения.