Кейбір қарапайым квадрат өрнектерге қатысты теңсіздіктерді жалпыландыру

  1. Мынандай, х1,х2, х3,… ,хn кез келген нақты сандары үшін

≥(1)

теңсіздігі орындалады

Дәлелдеу.

Алдымен

(x1-x2)2 ≥0

(x1-x3)2 ≥0

…………

(x1-xn)2 ≥0

(x2-x3)2 ≥0

(x2-x4)2 ≥0

…………

(xn-1-xn)2 ≥0

теңсіздігінің орынды екенін біле отырып,

x12+ x22 ≥2 x1x2

x1 2 + x3 2 ≥ 2x1 x3

……………………

x1 2 + xn2 ≥ 2x1xn

x2 2 + x32 ≥ 2x2 x3

x22 + x42 ≥ 2x2x4

………… …………

x 2n-1 +xn 2 ≥ 2x n-1xn

теңсіздіктерінің оң және сол жақ бөліктерін сәйкесінше мүшелеп қосатын болсақ

(n-1)( x12 + x22 + x3 2 + x42 + x 2n-1 + xn 2) ≥

≥ 2(x1x2 + x1 x3 +…+ x1xn + x2 x3 + x2x4 +…+ x n-1xn )(3)

қосындысы келіп шығады.

(3) теңсіздікті қысқаша көріністе

(n-1)≥

немесе (1) теңсіздігініңкеліп шығатынын айқын байқауға болады.

Егер , теңсіздігін дәлелдеу керек болса,

дәлелденген тұжырымнанn=3 болғанда теңсіздігінің дұрыс болатынын көреміз.

  1. Егер, теңсіздігі орындалса

(1)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу.

Алдымен

және(1)

теңдіктері орынды екенін айта кетейік.

Жоғарыдағы теңсіздікті дәлелдеу үшін

>0 екенін дәлелдесек жеткілікті.

Ол үшін (2) аустыруларды пайдалансақ,

=

=.

Соңғы бөлшектің алымы шарт орындалғанда жоғарыдағы тұжырымның дәлелі екенін байқаймыз.