Рационал сандар қасиеттері

Анықтама:  p бүтін мәндер, ал q натурал мәндер қабылдаса,  рационал сан деп аталады да, олардың жиыны рационал сандар жиыны деп аталып, Q арқылы белгіленеді:

Әрине,  санын әрқашанда қысқартылмайтын бөлшек деп қарауға болады, өйткені ол қыскартылатын болса, алдын ала алымы мен бөлімін ең үлкен ортақ бөлгішіне қысқартуға болар еді.

  1. Рационал сандардың қасиеттері
  1. Кез келген екі рационал санға арифметикалық амал қолдану нәтижесінде рационал сан шығады.
  2. Тәртіптелгендік қасиет. Кез келген екі r1 және r2 рационал сан үшін мына

үш арақатыстың: r1 < r2, r1 = r2, r1 > r2  тек біреуі ғана орындалады.

  1. Тығыздық қасиет. Тең емес кез келген екі рационал сан r1 және r2 –нің

арасында жататын ең болмағанда бір рационал сан r  табылады. Демек, егер r1 < r2 болса, ең болмағанда бір r саны табылып,

r1 < r < r2

теңсіздігі орындалады.

  1. Рационал сандар жиынындағы қималар.

Анықтама. Q рационал сандар жиыннының А және В кластарына бөлінуі қима деп аталады, егер мына үш шарт орындалса:

  1. Ø, В≠ Ø,
    1. АUB═Q

А класы қиманың төменгі класы, Вкласы қиманың жоғарғы класы деп аталады. Осылайша анықталған қима былай белгіленеді: (А,В)

Рационал сандар жиынында үш түрлі ғана қима бар:

  1. Төменгі класс А-да ең үлкен сан бар, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан жоқ.
  2. Төменгі класс А-да ең үлкен сан жоқ, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан бар.
  3. Төменгі класс А-да ең үлкен сан жоқ, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан жоқ.
  4. Иррационал санды анықтау.

Анықтама. Рационал сандар жиынында жасалған жоғарғы класында ең кіші сан жоқ, төменгі класында ең үлкен сан жоқ үшінші түрдегі қима арқылы анықталатын сан иррационал сан деп аталады.

  1. Нақты сандардың қасиеттері.

Анықтама: Барлық рационал және ирационал сандар жиыны нақты сандар жиыны деп аталып, R арқылы белгіленеді.

Кез келген нақты санды шексіз ондық бөлшек түрінде жазу мүмкін. Периодты шексіз ондық бөлшек рационал санды, ал периодты емес шексіз ондық бөлшек иррационал санды өрнектейді.

Мысалы,

  1. Нақты сандар жиынының тәртіптелгендігі.

Кез келген екі нақты сандар х және у үшін х=y ,x<y, x>y үш арақатыстың тек қана біреуі орындалады. Сонымен қатар, егер x<y, ал y<z болса, x<z болады.

  1. Тығыздық қасиет.

Рационал сандар жиынындағы тығыздық қасиет нақты сандар жиынында да болады. Бұны мына теорема түрінде тұжырымдауға болады.

Теорема. Өзара тең емес кез келген екі нақты сан х және у-тің арасында жататын нақты сан табылады.

  1. Үзіліссіздік қасиет.

Нақты сандар жиынындағы қималар да рационал сандар жиынындағы сияқты анықталады, тап айтқанда:

Барлық нақты сандар жиынының Х және У кластарына бөлінуі сол жиындағы қима деп аталады, егер мына үш шарт орындалса:

  1. Х≠Æ,U¹Æ
  2. CUU=R
  3. «хÎC»уÎUÞх<у

Рационал сандар жиынындағы үшінші түрдегі қима сандардың жаңа түрін – иррационал сандарды анықтаса. ал нақты сандар жиынындағы қималар нақты сандардан өзге ешбір жаңа сандар анықтамайды. Оны мына теоремадан көруге болады.

Теорема. (Дедекинд теоремасы) Нақты сандар жиынындағы қандай қима болса да, мына екі жағдай ғана кездесуі мүмкін:

  1. Х класында ең кіші сан жоқ. (Х,У) қимасы бұл жағдайда Х класының ең үлкен санын анықтайды.
  2. У класында ең кіші сан бар да, Х класында ең үлкен сан жоқ.Бұл жағдайда (Х,У) қимасы У класының ең кіші санын анықтайды.