Жоғарыдағы тақырыптан жиындар латин әлиппесінің үлкен әріптерімен белгіленетін символдарымен «+» (қосу), « • » көбейту, «—» (толату, сызық) және орындау тәртібін белгілейтін түрлі жақшалармен амалдар орындауын үқтық. Осы символдарды және амалдар ережелерін қалдырайық та символдарға басқа мағына берейік. Айтайық латин әліппесінің әріптері жиындарды емес айтылымдарды белгілесін.
Айтылым деген не? Бұл анық мағынаға ие сөйлем болып, ол түрасында шын немесе жалған деп айтуға болады.
Мына айтылымдарға мысалдар:
- A. 2 — жұп сан.
- B. Москва — СССР астанасы.
- C. Бұгін бейсенбі.
- D. Сімап салыстырмалы ауырлығы — 12,6 г/см3.
- F. Менім мышығым бар.
Айтылымдар дұрыс болмауы да мүмкін. - G. — жуп сан.
Н. Волга Балтик теңізіне қүйылады.
- Q. Қоян үша алады.
Айрым айтылымдар турасында анық шын немесе шын емес деген пікір айта алмаймыз:
Р. Марста өмір бар.
- L. Үшуші тарелкалар бар.
М. Памир тауларында қар адам жасайды.
- N. Ертенгі хокей матчында «Спартак» жеңеді.
Төмендегі көріністегі сөйлемдер айтылымдар емес.
- S. Жақсы көңіл узындығы 23 тонна.
- W. И әріпі автомобильды жүргізе алмайды.
«1» деп айтылымдар алгебрасында шындық түсініледі, «0» өтірікті белгілейді.
Қосу амалына мынадай мағына енгіземіз: егер қандай-дір айтылымдар « + » белгісімен байланған болса онда олар арасында “немесе” деген байлаушы сөз қосылған болады. Жоғары мысалдардағы A + F айтылымдар «2 — жуп сан немесе менің мышығым бар» деген мағынаға ие.
Айтылымдарды көбейту оларды “және” сөзімен байлау дегеніміз. Сонымен, А • L — «2 — жүп сан және менің мышғым бар» дегеніміз.
айтылымды теріс ету дегені, бұл “емес” байлаушы сөздің қосылуымен тең.дегенді —«2 — тақ сан» немесе 2 – жүп сан емес деген мағынада айтылады.
« + » , « • » және оларды терістеу амалдарымен біріккен айтылымдар символдары өрнектерді құрастырады, олардың алмастыру заңдары немесе формулалар жиындар алгебрасызаңдарына үқсас. Мағынасына байланысты олар күрделі айтылымдар болып “немесе” , “және”, “емес” байлаушы сөздермен біріккен элементар айтылымдардан құрастырылған болады.
Айтылымдар алгебрасы алмастыру кезінде мағынаға ие болмаған символдармен жұмыс орындап бір біріне еш қандай мағыналы байланбаған айтылымдар кездесуі мүмкін. Бірақ мысалдарда алмастырулардың және қағидалардың мағынасын түсіну үшін мағыналы байланысқа ие айтылымдарды аламыз.
Жоғарыда келтірілген екі қарапайым айтылымдарды алайық — F “Менің мышығым бар” және W әріпімен белгіленген – “Менің күшігім бар”. Қосу амалын қарастырайық. F + W“Менің мышығым немесе күшігім бар” мағынаға ие. Шынында да, егер менім мышығым болса, онда F = 1 болады, егер мышығым болмаса, онда F = 0 болады, соған үқсас W үшін да:
| F | W | + |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Оның мағынасы неде? Егер менім мышығым да күшігім де болмаса (яғни F = 0 және W = 0), онда «Менім мышығым немесе күшігім бар» деген сойлем өтірік болады (F + W = 0). Егер менім мышығым болып күшігім болмаса, онда F = 1, aл W = 0 болып F + W = 1 болады – сойлем шын болады. F = 0 және W = 1 жғдай үқсас болып, F + W = 1. F = 1 және W = 1 болған кезде F+W = 1 болуы айқын.
Келтірілген шындық кестесін ойланбастан формал жиындар алгебрасында танысқан буль алгебрасының қосу заңдарын қолданып та алуымыз мүмкін еді:
| 0 | + | 0 | = | 0 |
| 1 | + | 0 | = | 1 |
| 0 | + | 1 | = | 1 |
| 1 | + | 1 | = | 1 |
Енді айтылымдар алгебрасында « • » амалдың мағынасын қарайық. Жоғарыдағы екі айтылымдарды алайық, F • W “Менің мышығым да және күшігім да бар” дегенді білдіреді. Бұл амал шындық кестесі төмендегі көрініске ие:
| F | W | • |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Қиын емес түсінуге F • W сойлем шын болады егер мышығым да және күшігім де болса. Бұл кестені жоғарыдағы дай айтыламдардың мағынасын талқыламай ақ буль алгебрасының көбейту заңдарынан пайдаланып та алсақ болады:
| 0 | • | 0 | = | 0 |
| 1 | • | 0 | = | 0 |
| 0 | • | 1 | = | 0 |
| 1 | • | 1 | = | 1 |
“Емес” амалы үшін да шындық кестесі бар.
| F | |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Оның логикалық мағынасы төмендегідей: егер менім мышығым болса, ондаF = 1 болып= 0 болады («менім мышығым жоқ» деген айтылым өтірік болады).
Ілгері келтіріп шығарылған А+ = 1 және А•= 0 формулаларын естейік. Оларға қандайдір айтылымдарды қойып дұрыс екендігін тексерейік. А айтылым біздің мысалдарымызда «2 – жүп сан» екендігін білеміз. Бірінші формуладағы символды алмастырғанымызда аламыз: “2 — жүп сан, немесе 2 – тақ сан дегеніміз дұрыс” деген сойлемге келеміз. Шынында да 2 – жүп сан немесе 2 – тақ сан, үшіншісі мүмкін емес. Бұл формула ушіншісі мүмкін емес деген формал логикасының өте қажетті заңының символдық жазылуы болып табылады.
Бұл заң мынадай айтылады: Екі қарама-қарсы пікір (біздің жағдайымызда айтылым) бір уақыттың өзінде өтірік бола алмайды, біреуі әлбетте шын болады.
Күннен бүрын өтірік болса да басқа екі айтылымдар алайық. Q + = 1, бұл дегеніміз “Бұл дұрыс – қоян үша алады немесе үша алмайды”. Егер біз шындығын білмеген екі айтылымды да алсақ заң өз күшін сақтайды: Р += 1 – Марста өмір бар немесе жоқ.
Басқа формуланы тексереміз. Символдарды сай айтылымдар мен алмастырғанда мынадай сойлемге келеміз: бұл дұрыс емес 2 – жүп және тақ сан екендігі, бұл дұрыс емес қояндар үша алады және үша алмайды. Шынында қайсы бір сан жүп та тақта бола алмайды, дұрыс емес — қояндар үша алады және үша алмайды. Бұл формула – символдық түрінде жазылған логиканың қайшылас заңы болып табылады. Аристотель логикасында ол мынадай қалыптасқан: екі қайшылас пікір бір уықыттың өзінде шын бола алмайды, ең кемінде бірі әлбетте өтірік болады.
Айтылымдар алгебрасы элементар айтылымдардың күрделі комбинацияларынан сөзбен айтқанда түсініп болмайтын қорытындыны есептеп шығаруға мүмкіндік береді.
Сонымен, қалаған логикалық мәселе логикалық алгебрасының символдарында шешілуі үшін жалғаушылар мен біріккен элементар айтылымдардар көрінісіне келтіріліп, айрым айтылымдарды бейнелейтін символдардан құрастырылған өрнекке айналдырылуы керек. Символдар логикалық амалдармен байланған болады. Кейіннен эквивалент алмастырулар орындалады немесе өрнек көрінісіне байланысты әр айтылымдар шындығына қарап өрнектің шындығы шығарылады. Мысалда кұрделі құрастырылған айтылымдың шындығын анықтауын қарастырайық.
Айтайық төмендегі логикалық формула бар болсын:
Y = [(A•B + )•D + B•(•C + )]•A•.
С = 0, В = 0, A = 1, B = 1 болған кезде кұрделі айтылым шын немесе өтірік екенін анықтау керек. Берілген элементар айтылымдардың шындықтарын өрнекке қойып амалдарды орындап:
Y = [(1 • 0 + 1) • 1 + (0 • 1 + 1)] • 1 • 1 =[(0 + 1) • 1+(0 + 1)] • 1 = [1+1] •1 = 1 • 1 = 1.
екенін табамыз. Демек, кұрделі айтылым шын екен.
Әдеттегі және ғылымның да тілінде “және”, “немесе”, “емес” логикалық байланыстардан басқа да түрлі “егер … онда”, “сонда … тек қана сонда” деген байланыстарда қолданады. Айтылымдар алгебрасында эквивалент алмасулар жәрдемінде негізгі үшеуіне келтіріледі. Мұның үшін бұл байланыстарға енгізілген мағыналарды түсіну керек. Қайсыбір кең таралған грамматик байланыстарға арнайы символдар енгізілген, мысалы: “егер … онда”«→» деп белгіленеді (бұл операция айтылымдар алгебрасында «импликация» деп аталады). Оның шындық кестесі төменде келтірілген:
| A | B | → |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
«→» кұрделі байланысты негізгі үш байланыстарға келтіру үшін шындық кестесінде не жазылғанын оқиық. «Y = А→В» шын егер А = 0 және В = 0, немесе А = 1 және В = 1, немесе А = 1 и В = 0 болғанда. Енді кұрделі байланысты символдық көріністе жазып алайық:
Y = • + A•B + A•,
алмастырудан кейін Y = • + A•(B + ), бірақ B += 1, сонда Y = • + А.
Осы жолымен қалаған грамматик байланыстарды үш негізгі “және”, “немесе”, “емес” логикалық байланыстарға келтіруге болады. Бірақ барлық кезде де алынған формуланы мағынасын оқып бола бермейді. Мысалы төмендегі формуланы алйық:
Y = [( + B•)•D + A•B]•( + C) + •B.
оның мағынасын шығару қиын.
Бірақ бұл жұмысты орындау да қажет емес. Мұның үшын айтылымдар алгебрасы қызмет етіп, керекті амалдар символдық көрінісінде орындалып әр бір айтылымдың мағынасына көңіл бөлінбейді де ақырыңғы нәтиже талқылынады.
Релей схемалар алгебрасы
Естеңіздер телефон-автоматтан қоңырақ соққанда адасып ақырғы тиін бекер кеткенде қандай қапа болғаныңызды. Немесе қандай ашуланасыз егер бір неше рет таныс болмаған жағымсыз дауыс Галина Павловна ны телефонға шықырып беруіңізді өтініш еткенде. Осындай барлық жағдайда телефон стансасына тиісті жақсы болмаған пікірлер ойыңызға келеді. Бірақ сіздер кешірімді болар едіңіздер егер оның техникалық құжаттарын қарап шықсаңыздар. Онда қаншама релелер, узгіштер, өткізгіштер бар екендігін көріп керекті нөмерге қосылуы мұмкіндігіне таң қалар едіңіздер.
Осының бәрін сызып және проектеп шығатын қандайдір теория болу керек шығар. Бірінші болып мұндай «тарату схемалар алгебрасын” жасау мүмкіндігін Россияда истеген танықты ғалым П.Эренфест өзінің Л.Кутюрдың «Логика алгебрасы” атаулы кітабіне жазған рецензиясында жазған. Рецензия 1910 жылы Орыстардың Физика-химия үжымының журналында жарияланған. Кележек релей схемасы алгебрасына бірнеше қатар ажыратылған: “…айтайық автоматик телефон стансасының өткізгіштер схемасының проекті бар болсын. Анықтау керек: 1) стансаның жұмыс орындау кезіндегі қалаған комбинациясы кездескенде ол жұмыс орындай алама; 2) ол артықша кұрделіктерге ие емес пе… Осы сұрақтарды шешкенде табылған гениал бірақ өте рутинды графикті әдіспен тексеріп журу шартпа. Логика алгебрасы бар болған кезде соған үқсас тарату схемалары алгебрасы бар болуы утопия болып есептеледі ме”
П.Эренфест ғажайып дәл және анық релей схемасы алгебрасының есептерін осы кездегі түсінікте қалыптастырып қойды – релей құрылғыларының структурасын синтез және анализ ету. Эренфест пікірлері 30-шы жылдар орталарында Совет ғалымы В.И.Шестаков және америкалық К.Шеннон жұмыстарында бір уақытта амалға жеткізілді. Бұл ғалымдар буль алгебрасын контакттық схемалар баяндауында анализ және синтез өткізгенде қолдану керек екендігін үсынды.
2 сурет. Релей-контакт тізімдері
Буль алгебрасы операциялар мен символдарға мынадай талқылау енгізілді:
1 — жабық (қосылған) тізбек;
0 — ашық (ажыратылған, узілген) тізбек;
латин әлифбесінің кіші әріптері (а, в, с,…) — қосатын контакттар;
— ажырататын контакттар;
« + » — контакттардың параллел қосылуы («қосу»);
« • » — конттактардың тізбектеп (бірінен кейін) қосылуы («көбейту»).
Жиымдар және айтылымдар алгебрасында қаралған барлық ережелер және әдістер релей схемалары алгебрасында да сақталады. Ілгері уйренген бір неше формулалардың түралығын тексеріп көрейік. Жиымдар алгебрасында а + = 1 екендігін білдік. 2 а суретінде осы формулаға негізденіп жиылған схема келтірілген. Бір әріппен бір релеге қатынасты контакттар, немесе бір сигналмен басқарылатын түрлі релелерге тиісті конттактар белгіленуі сіздерге айқын болуы керек. Бұл схема жабық тізбекке теппе тең екендігі айқын: егер реле жұмысқа қосылмаса тізбек «» контактқа байланысты жабық, егер ол жұмысқа қосылса бұл контакт ажыраладыда «» контакт қосылып шынжыр қосылған күйі қалады.
Енді а •= 0 формула түра екендігін сенейік. Осы формулаға негізделген шынжыр 2 б. суретінде келтірілген. Бұл тізбек тиянақты ашық екендігін оңай дәлелдесе болады. Егер реле істемесе «а» контакт үзілген, реле қосылғанда «а» контакт қосылады, бірақ«» контакт ажыралады, сонымен шынжыр әр сапар ажыралған күйде болады.
а • а = а, а + а = а, 1 • а = а, 0 • а = 0, 0 + а = а және бізге таныс басқа өрнектердің дүрыстығын оңай тексеруге болады.
Релей схемалары алгебрасында “қосу” және “көбейту” үғымдарына қандай мән берілуін қарайық. Мұны дүрыс түсіну үшін айтылымдар алгебрасынан мәлім болған шындық кестесінен пайдаланайық. Релей алгебрасында оған жағдай кестесі сай келеді.
Қосу операциясы контакттардың параллел қосылуын білдіреді. Төменде оған сай жағдайлар кестесі келтірілген: .
| A | b | + |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Айтылымдар алгебрасында «0» немесе «1» «шын» немесе «өтірік» дегенге сай келеді, ал релей алгебрасында «0» ажыратылған контактқа немесе тізімге, «1» — жабық контактқа немесе тізімге сай келеді. Айқын параллел контакттан құрастырылған шынжыр жабық болуы үшін бір контакттың жабық болуы жеткілікті.
Іспеттес көбейту операциясының (немесе контакттардың тізбектеп қосылуының) айтылымдар алгебрасындағы және операциясының шындық кестесімен сай келген жағдайлар кестесін қарап шығып шынжырдың жабық болуы ушін барлық контакттар қосылған болуы керек екендігіне сенеміз.
2 всуретте келтірілген контакт схемасын релей алгебра символдарынан пайдаланып баяндап көрейік.
Сол жақта контакт «а» жайласқан болып оған тізбектеліп «в» контакт жайласқан, жазамыз: Y = a • в … , кейіннен тірбек тармақталып екі параллел бөлімдерге ажырайды, демек, бізге жақшалар керек болады, себебі әр бір параллел тізбек өз кезегімен тағы да параллел тізбектерге ие, квадрат жақшалар қойып тізбектің жоғары «с» контакттан және оған тізбектеліп жалғанған параллел «» және «а» контакттар дан құрастырылған бөлімін баяндаймыз:
Y = a•• [c•( + a)+….
Кейіннен төменгі параллел «b» контактпен «а» және«с» тізбектеліп жалғастырылған бөлімін баяндаймыз, сонда теңдеуіміз мынадай көріністе болады:
Y = a••[c•( + a) + b•( + )]….
Баяндалған екі параллел тізбекке ие бөліміне «с» контакт тізбектеп жалғанған. 2 в суретте келтірілген контакт тізбектің теңдеуінің ақырғы көрінісі төмендегідей болады:
Y = a••[c•( + a) + b•( + )]•c .
Алынған формуланы таныс ережелер жәрдемінде түрлентіреміз:
Y = a••[c•+a•c+b•a+b•]•c = a••c••c+a••c•c+a••b•a•c+ a••b••c .
Алынған өрнектің екі ақырғы мүшелері А • = 0 үшіншісі ерекше заңына 0-ге тең. Бірінші екі мүшелерінде бір түр белгілер бар. Осыларды есепке алып табамыз:
Y = a••c•+a••c = a••c•( + 1), бырақ +1 = 1.
Ақырында барлық алмастырулардан кейін Y = а••с екендігіне келеміз. Алынған формула бастапқысына эквивалент, демек бұл формулаға сай құрастырылған (2 г сурет) тізбек бастапқысына (2 в сурет) эквивалент. Осыдан, бастапқы тізім артықша контакттарға ие екендігі келіп шығады. «d» контакт, сонымен оны басқаратын элемент (мысалы, реле) керек емес.
Эквивалент контакт тізімдер дегеніміз не екен? Эквивалент формулаларға сай келген эквивалент схемалар қосылған немесе ажыратылған болады егер оларды құрастырушы контакттар бір жағдайда болса, ал релей-контакт жағдайында – релені басқарушы сигналдардың бір түр комбинациясында. Басқарушы сигналдың бар болуы ол басқаратын контакт тұйықталғанын (1), ал ол басқаратын тұйықталмаған контакт қосылмағанын (0) көрсетеді; оның жоқ болуы тұйықталатын контакт ажыратылғанын (0), ал тұйықталмаған контакттың қосылғанын (1) аңғартады.
Эренфест жазғанындай алдын ала схеманы графикалық бейнелеп көріп, кейіннен оның теңдеуін құрып, соңынан оны эквивалент өзгертумен қарапайым түрге келтіріп тағы да жаңа схема жасау дүрыс болмас еді. Керекті схеманы түра алатын әдіс болуы керек. Мұндай әдіс шынында бар.
Төмендегі мысалды алып қарайық. Электродвигательды басқаратын автоматтың схемасын сызайық. Электродвигатель магниттық қосқыш (МП) жәрдемінде тұйықталады. Магниттық қосқыш катушкасы үш басқарушы сигналдар (А, В, С) мен аралық релелер (Ра , Рb, Рс)контакттары жәрдемінде істейді. Двигатель үш сигналдан қалаған екеуі немесе үшеуі де болған кезде істейді. 3 а суретінде құрылғының блок-схемасы келтірілген.
3 сурет. Релей-контакттық автомат
Релей схемасы алгебрасы жәрдемінде мүмкін болған осы схеманы жасау жолын қарастырайық.
Алдын ала айтылымдар алгебрасындағы шындық кестесіне сай келген жағдай кестесін жасайық:
| a | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| b | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| c | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Y | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Вертикал бағандарда а, b және с контакттардың мүмкін болған жағдай комбинациялары келтірілген. Төменгі қатар контакт тобының жағдайын көрсетеді (тұйықталған немесе тұйықталмаған). Контакт тобының (Y) тұйықталған жағдайы бірге сай, ал тұйықталмағаны 0-ге сай келеді.
Мәселе шарты бойынша контакттық топ тұйықталған болады, демек электродвигательді тұйықтайтын магниттық қосқыш кіруші сигналдарды басқаратын контакттардың ақырғы төрт жағдайларында істейді.
Енді теңдеуді құруға өтеміз. Y = 1 болған бағандарды таңдаймыз, соңынан осы бағандар контакттар жағдайына сай келген символдарды көбейтеміз (егер «а» немесе қалаған контакт тұйықталмаған болса, «0» тең, көбейтпедежазамыз), алынған көбейтпелерді қосып шағамыз. Біздің жағдайымызда аламыз:
Y = а•b• +•b•с + а••с + а • b • с.
Кейіннен алынған теңдеуді жасанды әдісті қолданып эквивалент алмастырулар орындаймыз: теңдеуге ақырғы а • b • с мұшені екі рет қосамыз. Жиымдар алгебрасынан А + А + А + …= Аекендігін буль суммасына қалағанша бір түр мүше қосу мумкіндігін естейміз.
Демек, Y = а•b• +•b•с + а••с + а•b•с + а•b•с + а•b•с.
Кейіннен қосындыларды группалап жалпы көбейтінділерді жақша сыртына шығарған дан соң өрнек мынадай көрініске келеді::
Y = а•b•( + c) + а•с•( + b) + b•с•( + а)
Жақша ішіндегі сумма таныс үшіншіні шығару заңына байланыс бірге тең. Осыны есепке алып:
Y = а • b + а • с + с • b.
Алынған өрнекті тағы да оңайлату мүмкін (контакттар санын кемейтуге болады): Y = а•(b + а) + с • b.
Енді осы формулаға сай 3 б суретінде келтірілген автоматтың контакт группасы схемасын сызайық.
Осы жолымен шексіз кіруші сигналдармен басқарылатын қалағанша объекттерді басқаратын қалаған релей автоматын проекттеуге мүмкін. Мұның үшін оны кіруші және шығушы сигналдарға ие «қара жащик» (3 б сурет) көрінісінде бейнелеп жұмысының логикасын, кіруші және шығушы сигналдардың өз ара байланыстарын баяндап шығу керек. Амалда автомат жұмысын айтылымдар көрінісіне келтіріп оларды логикалық байланыстарымен құрастырып шығу керек. Кейіннен бұл логикалық айтылымдар қарапайым болып өте көп болмаса автоматтың логикалық формуласын жасап эквивалент алмастыруларымен өзгертіп контакт тобының теңдеуін алса болады. Егер автомат логикасы кұрделі болса шындық кестесі жасалып жоғарыда көрсетілген жолмен теңдеу құрылады.
Релей алгебрасында қабылданған символдармен белгілер қалаған кұрделі автоматты баяндауға жеткілікті, себебі контакттарды параллел және тізбектеп тұйықтаудан басқасы, контакттардың және тізбектердің тұйықталған және тұйықталмаған жағдайынан басқасы жоқ.Немесе айтылымдар алгебрасын естесек бұл символдар жеткілікті себебі қалаған кұрделі пікірді үш логикалық “және”, “немесе”, “емес” байланыстар жәрдемінде жеткізуге болады.