- Математикалық маятник созылмайтын жіңішке, салмақсыз жіпке ілінген материалдық нүкте. Ауырлық күштің әсерімен вертикаль жазықтықта тербеліс жасайды (4-ші сурет). Маятниктің ұзындығы L, массасы т, ал вертикаль жағдайы түзу сызық ОА мен берілген. Біздің мақсатымыз тербелмелі жүйенің күйін сипаттайтын функцияны табу. Күй функциясын анықтаудың бірнеше жолын көрсетейік. Мысалы, вертикаль өстен ең үлкен ауытқудың шамасы MB кесіндіні немесе тербелістің биіктігін беретін ВМ0(егерде М0 нүкте маятниктің жерден алғашқы биіктігі болса) немесе ОА және ОМ екі кесінді арасындағы бұрыш бола алады.Бұл үш вариантта бір-біріне эквивалентті, ал шамаларын былай анықтауға болады.
MB = L sin x ,ВМ0 = L (1 — cos x).
Механикада күй функциясы ретінде тербелістің бұрышы х алынады. Сөйтіп, бұрыштың уақытқа байланысты өзгерісін сипаттайтын формуланы анықтауымыз қажет.
- Маятниктің ауырлық күшіндегі еркін тербелісін Ньютонның екінші заңын (mа=Ғ) қолданып зерттейік. Маятниктің қозғалысын тудыратын Ғ күш, кез-келген уақыт моментіндегі орнына ОМ перпендикуляр бағытта әсер етеді. Салмақ күшін Р ескеріп былай жазуға болады Ғ = — Р sin х = — m g sin x .
Таңбасы ‘минус’ болады, себебі маятниктің қозғалысы вертикаль жағдайдан ауытқу шамасына қарама-қарсы бағытта жүреді. Сөйтіп, Ньютонның екінші заңын мынадай түрде жазамыз
Осыдан маятниктің тербеліс заңы массасына байланысты емес екендігін байқауға болады. Мүндағы ν — маятниктің жылдамдығы.
Алынған теңдеуді түрлендіру үшін, сызықтық жылдамдықпен күй функциясы (бүрыш x) арасындағы байланысты анықтайық. Ол үшін бұрыштық жылдамдықты, яғни күй функциясының туындысын табу қажет. Бір t -момент уақытында маятник ОА осіне x(t) — бұрыш, жасап М(t) — нүктесінде тұрсын дейік. Ал t+ уақыт моментінде x(t+)-
- бұрыш жасап M(t+) — нүктесіне жетсін (5а, сурет). Қарастырылатын екі нүктенің ара қашықтығын r()белгілеп, маятниктің жылдамдығын табамыз
Мұндағыr() шамасымына теңдіктен табылады (5б, сурет).
Мұндағы () = x(t + ) — x(t) ■ Нәтижесінде мынадай теңдік аламыз.
Мынадай теңдіктің айқындығын ескерсек
маятниктің жылдамдығы мына формуламен v =Lx табылатынын байқаймыз. Осы шаманы (2.1) қойып мынадай теңдеу аламыз.
Процесстің параметрі жиілікті (меншікті)маятник тербелісінің негізгі тендеуін аламыз