Жоғары алгебра курсында 3 – және 4 – дәрежелі теңдеулерді жалпы жағдайда радикалдарда шешуге болатындығы дәлелденген. Дәрежесі 5 – және одан жоғары болған теңдеулерді жалпы жағдайда радикалдарда шешуге болмайтындығы да белгілі. Сондықтан радикалдарда шешілетін жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде әр – бір теңдеудің құрылымына қарап қолданылатын дербес әдістердің орны ерекше болады. Осындай әдістердің кейбіреулерін қарастырамыз.
- Жаңа айнымалыны енгізу әдісі.
Айталық, теңдеуді шешу керек болсын. Мұның үшін жаңа айнымалыны енгіземіз:
Онда берілген теңдеу жаңа айнымалы бойынша мына көрініске келеді:
Бұл теңдеудің шешімдері болады. Енді
және
теңдеулерді шешу керек болады. Оларды шешіп мына жауапты аламыз:
- Теңдеудің сол жағын белгісіз коэффициенттер әдісімен көбейткіштерге жіктеу әдісі.
Егер берілген теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктелсе оны шешу дәрежелері төмен болған бірнеше теңдеулерді шешуге келеді. Бірақ кейбір теңдеулерді орта мектепте өтілетін қарапайым әдістер көмегімен көбейткіштерге жіктеуге болмайды. Осындай жағдайларда белгісіз коэффициенттер әдісін қолдануға болады. осы әдісті мысал арқылы көрсетеміз:
Мысал.теңдеуді шешу керек.
Шешуі: Айталық, берілген теңдеудің сол жағы екі екінші дәрежелі көпмүшелер көбейтіндісі көрнісінде жазуға болатын болсын. Бұл көбейткіштердің біреуін деп, екіншісін деп алайық. Мұндағы p, q, r, s – коэффициенттер белгісіз, ал біз оларды табуымыз керек болады. Мына теңдікті жазуға болады:
Теңдіктің оң жағындағы жақшаларды ашып көпмүшенің стандарт көрінісіне келтіріп екі көпмүшенің тең болу шарты бойынша мына теңдіктер жүйесіне ие боламыз:
Соңғы теңдіктен — дың алуы мүмкін болатынмәндері: 1 , 2 , 7 , 14 ,- 1, — 2 , — 7, — 14 сандары екендігін анықтаймыз (p, q, r, s – бүтін сандар болуға тиіс екендігінен)
Айталық, болсын. Онда болады. Екінші және үшінші теңдеулерден мына теңдіктер жүйесіне ие боламыз:
Бірінші теңдеуді 14 ке, екінші теңдеуді — ге көбейтіп теңдеулерді мүшелеп қосып мына теңдеу пайда болады:
Бұл теңдеу бүтін шешімдерге ие болмайды, бірақ — бүтін сан болуы керек, сондықтан екендігін анықтаймыз.
Айталық болсын, онда болады және екінші, үшінші теңдіктер арқылы пайда болған жүйені анықтаймыз:
Жүйеден p белгісізді шығарып тастасақ
теңдікті аламыз. теңдікті шешіп екендігін табамыз. Онда болады. Табылғандарды орнына қойып мына теңдікке ие боламыз: Онда берілген теңдік орнына мына теңдікті алуға болады:
Бұл теңдікті шешу үшін
және теңдіктерді шешу жеткілікті. Оларды шешіп мына жауапты аламыз: