Прогрессия (латынша progressio – «ілгері қозғалу») деп, мүшелері белгілі бір қатысты қанағаттандыратын реттелген тізбектерді айтамыз.
Қатар тұрған екі мүшесінің айырымы тұрақты, әрі нөлге тең болмаса, яғниқатысы орындалса, онда белгілі арифметикалық прогрессияны аламыз. Бұл прогрессияны бірінші ретті немесе 1 – прогрессия деп атаймыз.
Қатар тұрған екі мүшесінің айырымы тұрақты, әрі нөлге тең болса, яғниқатысы орындалса, онда тұрақты нөлден өзге бір ғана мүшеден тұратын тізбекті аламыз. Бұл тізбекті нөлінші ретті немесе 0 – прогрессия деп атаймыз.
Жалпы жағдайда реттелген тізбегін k – ретті арифметикалық прогрессия деп атайды, егер оның қатар тұрған мүшелерінің айырымы – ші ретті арифметикалық прогрессия құраса [1]. Бұдан біз екінші ретті арифметикалық прогрессияны мына түрде анықтауға болатындығын аламыз.
1-анықтама. Реттелген тізбегінің қатар тұрған мүшелерінің айырымы бірінші ретті прогрессия құраса онда, оны екінші ретті арифметикалық прогрессия деп атаймыз.
Жоғарғы ретті арифметикалық прогрессиялардың анықталуының күрделігіне қарамастан математиканың әртүрлі салаларында жиі кездесіп отырады. Дегенмен, оған деген қөзқарас әліде өте шырайлы емес.
Сонымен екінші ретті арифметикалық прогрессия деп, негізінен қатар тұрған екі мүшесінің айырмаларынан құралған тізбектің өзі арифметикалық прогрессия құрайтындай тізбекті айтамыз. Мысалға, теріс емес бүтін сандардың квадраттарынан құралған 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … тізбегі айырмасы екіге тең 1, 3, 5, 7, 9, 11,… арифметикалық прогрессия құрайтындықтан екінші ретті арифметикалық прогрессия болады. Дәл осылайша жоғары ретті прогрессиялар анықталынады. Мысалға, жеке жағдайда – шы ретті дәрежелік қосындылар – шы ретті арифметикалық прогрессия құрайтындығын көрсетуге болады.
Екінші ретті арифметикалық прогрессияның жоғарыдағы индуктивті анықтамасынан тікелей, оның жалпы мүшесінің және алғашқы мүшелерінің қосындысының формуласын табу мүмкін емес.
Арифметикалық прогрессияны жоғарыдағы рекуррентті анықтағанымыз сияқты, екінші ретті арифметикалық прогрессия ұғымын рекуррентті формула арқылы енгізіп, оның құрылымын зерттеуді қарастыралық.
2 – анықтама. Бірінші мүшесі және айырмасы болатын мына рекуррентті формуламен берілген тізбекті екінші ретті арифметикалық прогрессия деп айтамыз:
(1)
Екінші ретті арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің және алғашқы мүшелерінің қосындысын табу үшін, оның бірінші мүшесін есептелік. Сонда мыналарды аламыз:
Бұл алынған өрнектерден мынадай ұйғарымға келеміз.
1 – ұйғарым. рекуррентті формуласымен берілген тізбектің жалпы мүшесі мына формуламен анықталынады:
(2)
Дәлелдеуі. Бұл формуланың орындалатындығын математикалық индукция принципі арқылы жүргіземіз.
болғанда (1) формула бойынша мына ақиқат теңдікті аламыз:
Енді болғанда болсын деп ұйғаралық. Сондаболғанда болатындығын дәлелделік. Рекуррентті теңдікті пайдаланып мынаны аламыз:
Енді алғашқы мүшелерінің қосындыларын есептелік:
Бұлардан мынадай жорамал жасайық:
болғанда бұл теңдік ақиқат болатындығы жоғарыдағы теңдіктерден шығады. болғанда
теңдігі ақиқат деп алып, болғанда
теңдігінің орындалатындығын дәлелделік.
Шынында,
Екінші ретті арифметикалық прогрессияны рекуррентті түрде басқаша да анықтауға болады.
3 – анықтама. Екінші ретті арифметикалық прогрессия деп, рекуррентті
(3)
формуласымен анықталынатын реттелген сандардың тізбегін айтамыз, мұндағы – cаны екінші ретті арифметикалық прогрессияның айырымы.
Бұл прогрессияның жалпы мүшесінің формуласын табу үшін(3) формулада индекстің мәнін деп алып, оларды мүшелеп қосып, мынаны аламыз:
2-ұйғарым. Рекуррентті формуламен берілген екінші ретті арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі мына формуламен есептелінеді:
Енді алғашқы мүшелерінің қосындысын есептелік:
3-ұйғарым. Рекуррентті (3) формуламен анықталынған екінші ретті арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы мына формуламен есептелінеді:
Сонымен, екінші ретті арифметикалық прогрессияны әртүрлі рекуррентті формуламен анықтағанда, онда құрылымдық өзгерістердің, яғни жалпы мүшені табу және алғашқы мүшелердің қосындысын есептейтін формулалардың өзгеретіндігі байқалады.
Резюме
В работе изучены строение рекуррентно определенных арифметической прогрессии второго порядка
Summary
The paper studied the structure recursively defined arithmetic progression o
Пайдаланған әдебиеттер
- Б.Л. Вандер Варден. Алгебра. М. Наука,
- Математическая энциклопедия. Часть М., 1977.