Заман талабына жауап беретін жоғары тәжірибелі мамандарды дайындауда жалпы курстармен қатар жеке курстар да оқытылады. Жалпы курстар студенттерге ғылыми пәндердің негізгі заңдылықтарын, проблемаларын, идялары мен дәлелдерін ұқтырса, арнаулы курстар олардың жалғасы,тереңдетілуі мен нақтылануы болып есептеледі. Олардың мақсаты турлі мәселе бойынша жан –жақты жетілдірілген максимал дәрежеде ғылыми негізделген мәлімет беруден құралады.
Арнаулы курстарды оқытуда студенттерге өздері игеріп білім, дағды және тәжірибелерді болашақ кәсіби қызыметінде қолдану мумкіндіктерін көрсету қажет. Мұндай игілікті міндетті іске асыру үшін, біздіңше студенттерді мектепке, академиялық лицейге, кәсіп-өнер коледждерге бағытталған ғылыми-әдістемелік курстардың маңызы ерекше. Олар сан, функция, интеграл, өлшем сияқты негізгі математикалық түсініктерді ашып, береді анықтайды және жалпылайды. Осындай арнайы курстар кейбір математикалық ұғымдарды жаңаша ғылыми көзқараспен қарастырып, бір уақыттын өзінде материалды жинақтауға, бекітуге, таратуға көмектеседі.
Осындай кезеңде ұғымның тарихи, гносеологикалық, математикалық, әдістемелік және психологикалық-педагогикалық жақтарын үйрену қажет. Лекция мен семинарларда ұғымдарды үйрену мен қолданудың түрлі әдістерін игеру, баяндаудың тиімді нұсқасын таңдау керек.
Соңғы кезде арнаулы курстарды ұйымдастыру формалары түрліше болып,тәжірибе арнаулы курстардың лекция және семинар формасын пайдалану мақсатқа лайық екенін көрсетуде. Арнаулы курс-семинар біршама лекциялар түрінде, енді бір бөлігі студенттердің баяндамалары негізінде өткізіліп, бір уақыттың өзінде теориялық білімге ие болумен бірге тиянақты білім алуға көмек береді. Оның мақсатты-лекциялар бағдарламалық курстың жаңа проблемалық мәселелрімен тереңдету және байыту. Тәжірибе лекция және семинар формасының тиімділігі мыналар екенін көрсетеді: жаттығулар қызықты өтеді; жалпылау және негізгі идеялық көзқарастар студенттердің баяндамаларында іске асырылады, оларды үйреніп жатқан ұғымдары, теориялары, дәлелдер туралы білімдері тереңдейді. Студенттер алған білімдерін тереңдету және жаңаларын іздеу мақсатында ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді табу және талдау,лекция құрастыру және көпшілік алдында баяндама жасау, түрлі проблемалар туралы өз пікірін айтуға уйренеді.
Арнаулы курс мазмұнын белгілеуде кәсіптілік бағыт негізгі шарт болып есептеледі. Оны іске асыруда жалпы тәлім және жоғары білім курстары арасындағы өзара байланысты қамтамасыз ететін, студенттердің математикалық қызметін ұйымдастыруға қызмет ететін курстар аса қажет.
Сондай курстардың бірі ретінде “Трансцендент функциялар” деп аталатын, ол математика бакалавират білім процесінің оқу жоспарына сәйкес істеп шығарылды. Бұл курс студенттер жағынан «Математикалық анализ»,
«Геометрия», «Алгебра және сандар теориясы», «Функциялар теориясы» оқу пәндерін меңгеру барысында алынған білімдерінен пайдаланады.
Арнаулы курстың үйрену нысаны (объекті) болып,мектептің “Алгебра және анализ негіздері” пәніндегі анализдің негізгі ұғымдары болып есептеледі. Арнаулы курстың пәндері негізгі ұғымдарды ендіруді ғылыми тұрғыдан негіздеудің түрлі амал-тәсілдерімен құралады.
Әдетте, негізгі трансцендент функциялардан болған синус пен косинус функцияларын бірлік шеңбер жәрдемінде ендірілуі,олардың ерекшеліктері негізделеді. Алайда бұл функцияларды қатарлар көмегімен, дифференциялдық теңдеулер шешімі ретінде,аксиомалар системасы жәрдемінде жеке басқа амал-тәсілдер арқылы ендірілуі мүмкін.
Аталған курста студенттерге синус пен косинус функцияларын енгізу әдісінің біреуін толық беру, ал қалған түрлерін семинар сабақтарында үйрену үшін тапсырмалар беруге болады.Мысалы,тригонометриялық функцияларды қатарлардың көмегімен енгізу лекцияда беріліп, қалған тәсілдерді семинар жаттығуларда талдау мүмкін. Семинар жаттығуларға тапсырмалар мәселелері (есептер) түрінде берілгені дұрыс.
Сондай оқу мәселелерінің атына келесі анықтаманы қарастырамыз:
Анықтама. Аналитикалық косинус және аналитикалық синус деп келесі аксиомаларды қанағаттандыратын функцияларға айтылады.
- x-тың барлық мәндерінде анықталған;
- . x және y-тың барлық мәндерінде
тепе-теңдігі орындалады.
III. Бірер оң саны үшін және функциялары интервалында оң, яғни кез келген үшін
- интервалының шекаралық нүктелерінде теңдіктері орындалады.
Бұл асималар системасынан келіп шығатын және функцияларының қасиеттерін үйренеік.
Тапсырма.Келесі қасиеттерді дәлелдеу керек.
1-қасиет.
2-қасиет. тепе-теңдігі орындалады.
3-қасиет. Мына ,тепе-теңдіктері орындалады.
4-қасиет. функциясы үшін қосу формуласы орындалады
5-қасиет. -жұп функция, -тақ функция.
6-қасиет. және функциялары үшін қосу формулалары орындалады.
Бұл функциялардың басқа қасиеттерін өз бетінше іздеп, оларды дәлелдеу студенттердің өздеріне ұсынылады. Әсіресе бұл функциялардың периодтылығын,үзіліссіздігін дәлелдеу, бірсарындылық аралықтарын анықтау сияқты мәселелерге назар аудару керек. Бұл функциялардың үзіліссіздігі және осы аксиомалар жүйесін қанағаттандыратын функциялар жұптығының жалғыздығы туралы теоремаларды дәлелдеу айтарлықтай күрделі болғандықтан бұл теоремаларды семинар уақытысында оқытушы немесе семинардан алдын дайындалған студенттер басқа студенттерге түсіндірулері дұрыс болады.
Біз аксиомалар жүйесіне байланысты болған келесі үш топ мәселелерін қарастыруды ұсынамыз.
Бірінші топ мәселелері аксималар жүйесіне қойылатын талаптарға байланысты болады.Сол талаптардың да орындалатынын студенттерге түсіндіру қажет. Бұл үшін студенттерге келесі сұрақтарды қою мүмкін:
1). егер аксиомалар жүйесіне мына қасиет қосылса
V.
онда бұл қасиет алдынғы қасиеттерге немесе олардан келіп шығатын қасиеттерге қайшы болады ма?
2). Акиомалар жүйесінің толықтығы деген не?Егер аналитикалық косинус және аналитикалық синус функцияларын төмендегі аксиомалар жүйесі арқылы анықтасақ, бұл жүйе толық болады ма?
I . x-тың барлық мәндерінде анықталған;
- x және y-тың барлық мәндерінде
тепе-теңдігі орындалады.
III. Бірер оң саны үшін және функциялары интервалында оң,яғни кез келген үшін
- интервалының шекаралық нүктелерінде теңдіктері орындалады.
Нұсқау: жоғарыдағы аксиомалар жүйесін және функцияларының да қанағаттандыратындығын көрсету керек.
- I-IV аксиомалар жүйесі минимал ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін III-аксиомада немесе функцияларының тек біреуінің оң болуын талап ету жеткілікті екендігін негіздеу керек.
Екінші топ маселелері аксиомалар жүйелерінің пара-парлығына байланысты болады.
Егер бірінші аксиомалар жүйесінен екінші аксиомалар жүйесі және, керісінше, екінші аксиомалар жүйесінен бірінші аксиомалар жүйесі келіп шықса, бұл аксиомалар жүйесі пара-пар (эквивалент) деп аталады. Бұған сәйкес келесі мәселені қарастыру мүмкін.
Келесі аксиомалар жүйесінің:
. x- тың барлық мәндерінде анықталған.
. Қосу формулалары орындалады:
. тепе-теңдігі орындалады.
. аралығында >0;
. , =0
I-IV аксиомалар жүйесіне пара-пар екендігін көрсеті керк.
Үшінші топ мәселері тригонометриялық функциялардың біреуінің жеке өзін аксиомалар жүйесі арқылы анықтаумен байланысты болады.
Анықтама. Аналитикалық косинус деп келесі шарттарды:
А) аралығында үзіліссіз
В) теңдеуінің ең кіші оң шешімі бар,яғни , бірақ -да
С) функционал теңдеуін қанағаттандырады
Д) қанағаттандыратын функциясын атайды.
Тапсырма.Жоғарыдағы аксиомалардан шығатын қорытындыларды келтіру керек
Мысалға
1).функциясының -да оң екендігін көрсету керек.
2).екенін дәлелдеу керек
3).- жұп функция
4).тепе-теңдігі орындалады.
5).Функция шенелген:
Сонымен жоғарыдағы тақырыпты оқып үйренуде студенттер тригонометриялық функцияларды қатарлар жәрдемімен аксиомалы енгізу әдістерін үйренеді, аксиомалар жүйесі, дәрежелік қатарлар жөніндегі білімдерін қайталайды, бекітеді, тригонометриялық тепе-теңдіктерді дәлелдеу ұсталығын асырады, математикалық талдауда функция үзіліссіздігін дәлелдеудің қосымша әдстерін үйренеді.